Fundamento
El sistema diédrico es un método de representación de proyecciones múltiples, en el que los elementos quedan definidos por sus proyecciones ortogonales sobre al menos dos planos de proyección.
Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil. Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonalesdel objeto, se giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano.
En la figura un cilindro se proyecta punto por punto sobre el plano horizontal PH y el vertical PV. Como se hace mediante perpendiculares, la circunferencia de la base se transforma en el alzado en una línea recta, por ser el plano que la contiene perpendicular al plano vertical.
Por ser paralela a la planta, la cara superior del cilindro se transforma sobre este plano en un círculo igual.
La recta de intersección del plano vertical y horizontal se llama línea de tierra.
A continuación se gira el plano vertical 90º hasta hacerlo coincidir con el horizontal tomando como eje de giro la línea de tierra. El giro provoca que las dos vistas queden perfectamente alineadas en líneas ortogonales a la línea de tierra.
Las dos vistas diédricas (en planta y alzado) quedarían de esta forma. Tras el giro las proyecciones diédricas del objeto quedan siempre correlativas.
Quitamos la referencia del contorno de los dos planos y tenemos ya la planta y alzado. La línea de tierra se representa en sistema diédrico por una recta que separa la planta del alzado y con dos segmentos en sus extremos.
Si la pieza tiene más complejidad puede ser necesario representar otra vista en algún plano más de proyección. En la figura vemos el plano del perfil (PP).
En la figura vemos en color amarillo lo que se proyecta en el plano vertical, en rojo y verde en el horizontal y en verde sobre el plano del perfil.
En la planta se coloca la proyección ortogonal de la pieza “vista” desde arriba (en amarillo y azul claro). Correlativamente a la anterior aparece el alzado que es la vista frontal (naranja, verde y azul oscuro) y por último el perfil de la pieza (en rosa), como indica su denominación. Las partes no visibles de la pieza al observador según se coloca arriba para ver la planta, o de frente para ver el alzado aparecen discontinuas. Las líneas discontinuas son líneas que existen, que son intersección de superficies pero que no se pueden apreciar por estar detrás de alguna cara.
Una pieza con sus proyecciones en planta, alzado y perfil, y con una representaciónaxonométrica de la misma.
La pieza, como tiene un hueco prismático cuyas aristas son tangentes a algunas caras de la figura, estas líneas aparecen con una disposición continua ya que son visibles.
Vamos a representar en el sistema diédrico un prisma con otro prisma hueco en posición oblicua en su interior, para ello tenemos dos procedimientos:
Por un lado tenemos el sistema europeo en el que el observador se coloca encima de la pieza para verla desde arriba en planta. Se coloca detrás de la pieza para verla en el alzado o en el perfil. Con aproximación, lo que ve desde un punto de vista lejano para evitar la distorsión de las líneas concurrentes de la perspectiva, se parece a las proyecciones ortogonales del objeto sobre los tres planos de proyección.
Una vez que se han proyectado las tres vistas sobre los tres planos de proyección, el plano de perfil se gira 90° hasta hacerlo coincidir con el plano del alzado. A continuación se giran los dos planos hasta hacerlos coincidir con el de la planta, coincidiendo todos con el plano del cuadro o del papel. El giro siempre se hace respecto a la línea de intersección de los planos.
Por otro lado tenemos el sistema americano, en el que una representación práctica del mismo excluye al observador, el objeto simplemente es como si se reflejara sobre los tres planos de proyección siendo estos espejos. La imagen de las tres caras de la pieza reflejada son las que aparecen sobre los tres planos de proyección.
Para obtener las vistas de alzado y perfil, se giran ambos planos 90° hasta que coinciden con el plano de la planta, de esta forma se representan las tres vistas del sistema diédrico. La LT es una recta formada por un segmento grande alterno a dos pequeños y así sucesivamente.
En la figura observamos una pieza en perspectiva axonométrica isométrica con sus tres proyecciones diédricas, planta, alzado, y perfil. Como muchas caras de la figura son coincidentes con otras o con la continuación de otras, de las vistas diédricas es difícil deducir la forma de la pieza.
Si representamos nuevas vistas y mostramos el interior de la pieza mediante líneas discontinuas facilitamos la comprensión de la misma. Tenemos no obstante el mismo problema que en el dibujo anterior, algunas aristas de la pieza son coincidentes por lo que tiene muy mala interpretación, ni siquiera la que muestra sus caras en distintos colores se aprecia con facilidad. Como la axonometría isométrica hace coincidir las aristas confundiendo la interpretación de la pieza, conviene hacer un giro de la misma en el espacio para obtener una nueva proyección axonométrico, como en el dibujo siguiente.
En esta vista resulta más fácil interpretar la pieza, no obstante como faltan líneas discontinuas no podemos interpretar bien las partes del dibujo no visibles según el punto de vista imaginario de la pieza (imaginario por cuanto la axonometría no tiene punto de vista, es una proyección ortogonal cilíndrica, de ahí que todas las aristas paralelas de la pieza salgan también paralelas en el dibujo, por esto se dice que el paralelismo es un invariante proyectivo en esta perspectiva).
En esta nueva proyección axonométrica trimétrica, podemos ya diferenciar con total nitidez los distintos elementos de la pieza. En consecuencia, cuando unas vistas diédricas no son suficientes para la interpretación del dibujo, -como tampoco lo serían en esta pieza diferentes cortes o vistas auxiliares de la misma-, tenemos que dibujar una perspectiva preferentemente axonométrica en la que las aristas de la pieza no sean coincidentes.
Cuadrantes en s. diédrico
A la izquierda podemos observar los cuatro cuadrantes del sistema diédrico. En el primer cuadrante un punto A tiene sus dos proyecciones ortogonales A1 A2 sobre el plano horizontal y vertical respectivamente. Al girar el plano vertical en sentido contrario a las agujas del reloj, la proyección A2 vertical del punto A queda sobre la línea de tierra mientras que la horizontal A1 queda por debajo de ésta, como se ve en el dibujo de la derecha.
En el segundo cuadrante B con sus dos proyecciones horizontal y vertical B1 B2, respectivamente, se transforman mediante el giro del plano vertical en B1 B2, ambas sobre la línea de tierra, como se observa en el dibujo de la derecha.
En el tercer cuadrante C, podemos observar que al girar el plano vertical, la proyección vertical del punto C2 pasa a estar por debajo de la línea de tierra mientras que la proyección sobre el plano horizontal C1 queda por encima de la línea de tierra, conforme al dibujo de la derecha.
Un punto D en el cuarto cuadrante con sus dos proyecciones horizontal y vertical D1 D2, respectivamente, tenemos que mediante el giro del plano vertical se transforman en 2 puntos alineados sobre una vertical por debajo de la línea de tierra, conforme aparecen el dibujo de la derecha.
Representación de elementos en sistema diédrico mediante coordenadas.
Tenemos los dos planos de proyección, el horizontal y vertical. La intersección de ambos planos o línea de tierra es considerada como el eje X (en color rojo). La línea perpendicular al eje sobre el plano horizontal por un punto cualquiera es considerado el eje Y (en color magenta). A partir de este punto u origen de coordenadas (0,0) hacemos una recta vertical y la consideramos el eje Z.
De esta forma representamos los puntos en los distintos cuadrantes: el punto A esta a 20 unidades del origen de coordenadas sobre el eje X., a partir de este punto hacia la derecha tiene un alejamiento de cinco unidades (tomado sobre el eje y) y una altura o cota de tres unidades (tomado sobre el eje Z), por tanto las coordenadas del punto A son (20,5, 3). En sentido contrario del que hemos utilizado tendríamos unidades con un valor negativo, por ejemplo, el punto B tiene por coordenadas (9, -7,4), esto quiere decir que sobre el eje X. está a nueve unidades, que a partir de este punto hacia la izquierda siguiendo el eje Y está a -7 unidades, y a partir de este punto a una altura o cota de cuatro unidades se localiza el punto B. Un punto que esté en el segundo cuadrante tiene sobre el eje y valor negativo y sobre el eje Z. su valor positivo, mientras que sobre el eje X. puede tenerlo positivo o negativo indistintamente.
El punto C del tercer cuadrante tiene las coordenadas negativas tanto del eje y como del eje Z., de esta forma el punto tiene por coordenadas (0, -8, -2), ello quiere decir que tiene por alejamiento ocho unidades y por cota o altura dos, negativos ambos por estar en el tercer cuadrante.
El punto D tiene por coordenadas (15,6, -20), en este cuadrante Z tiene siempre un valor negativo, mientras que el valor de Y es siempre positivo.
El sistema diédrico puede facilitar la comprensión del fundamento de los demás sistemas de representación.
En la figura tenemos un cubo que se proyecta de forma oblicua y mediante líneas paralelas sobre un plano llamado de cuadro PC. Una al menos de las caras del cubo es paralela al plano del cuadro.
Podemos observar que un segmento vertical de 10 cm se transforma en otro de 9 cm, esto quiere decir que la reducción que se aplica en este sistema de representación es de nueve decimos.
Tenemos también que a partir del eje X se empieza a contar un ángulo en el sentido de las agujas del reloj hasta orientar el eje Y. El ángulo que forman estos dos ejes es el ángulo de la perspectiva caballera, 315º en este caso.
En la figura podemos observar la representación diédrica de la perspectiva caballera, la proyección en planta y alzado de cada uno de los elementos mediante líneas paralelas que transforman la figura en planta en su perspectiva caballera.
Sobre la planta haremos la perspectiva caballera de la figura, que no es más que la sombra de la figura proyectada sobre el plano de la planta. Como vemos en el alzado la cara roja del cubo se transforma en el plano XY sobre la planta, mientras que la cara superior del cubo (en color verde) se transforma en la perspectiva en la cara verde.
http://perspectiva-caballera.blogspot.com/
En la figura podemos observar el fundamento del sistema axonométrico, tres ejes cartesianos, X Y Z se proyectan sobre un plano mediante líneas paralelas y de forma ortogonal al mismo. Estos tres ejes son la esquina de un cubo (forman entre sí dos a dos 90°, lo que en geometría se llama un triedro trirrectángulo).
Para obtener la verdadera medida del cubo que se proyecta de forma ortogonal sobre el plano del cuadro, se abaten las caras, de manera que podamos trabajar sobre el papel, sobre el plano del cuadro PC.
Sobre la cara abatida (x) (y) se colocan las vistas de la pieza y se proyectan ortogonalmente sobre la traza de la cara abatida hasta que cortan a los ejes x’ y’, obteniendo así la dimensión reducida sobre los mismos de las aristas del cubo.
En el dibujo tenemos la representación en sistema diédrico del triedro al que se ha abatido una cara, el abatimiento lo observamos en el alzado mediante el giro de la cara xy. Sobre la cara abatida (x) (y) se coloca una de las caras de la figura y se proyecta mediante ortogonales a la charnela hasta que intercepta a los ejes xy.
Al proyectar la forma plana tenemos que los vértices de esta inciden sobre los ejes de la axonometría xy, con lo que tenemos ya la perspectiva de la cara de la figura con su reducción correspondiente y en perspectiva axonométrica.
http://perspectiva-axonometrica.blogspot.com/
En la figura tenemos el fundamento de la perspectiva cónica, por el punto de vista V se hacen paralelas a la dirección de las aristas de la pieza V-F1, V-F2, hasta que interceptan en el plano del cuadro a los puntos de fuga F1 F2. Los lados n de la proyección de la pieza sobre el plano de la base se prolongan hasta que cortan al plano del cuadro, obteniendo las trazas tn que unimos con los puntos de fuga F1. La intersección de estas líneas es el cuadrilátero en perspectiva en color amarillo sobre el plano del cuadro. Como ejemplo tenemos que la perspectiva de n es d.
Para obtener las alturas de la pieza se colocan a partir de la traza tn las dimensiones verticales e s en verdadera magnitud y las proyectamos o d hacia los puntos de fuga F1 obteniendo la perspectiva de estas líneas verticales. Como podemos observar cada punto de la pieza U y su perspectiva U’ están alineados con el punto de vista V, y este es el fundamento de la perspectiva cónica.
En la figura tenemos la representación en sistema diédrico de la perspectiva cónica con sus dos proyecciones solapadas. Como vemos en planta sobre el cuadrado verde se prolongan sus lados n hasta que cortan al plano del cuadro en las trazas tn, puntos que subimos al alzado sobre la línea de tierra. Por el punto de vista V se hacen líneas paralelas a los lados de la figura en la base obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta los puntos de fuga F1 F2. Estos puntos de fuga en planta se proyectan sobre el alzado sobre la línea que queda a la altura del punto de vista, que es la línea del horizonte F1 F2.
Uniendo los puntos de fuga con las trazas de la pieza tn-F1 tenemos la perspectiva del cuadrado verde sobre el alzado, que es el cuadrado amarillo. A partir de una de las trazas de estas líneas tn se colocan las medidas verticales e s de los elementos a representar. Estas dos medidas se proyectan hasta el punto de fuga F1 y donde interceptan a la vertical de cada punto q de la perspectiva del cuadrilátero amarillo tenemos la perspectiva cónica de la figura con sus dimensiones verticales en perspectiva. Podemos observar en la perspectiva que la proyección del punto de vista sobre la línea del horizonte, que llamamos punto principal, es tal que alinea
cada punto con su perspectiva, por ejemplo se puede observar que un vértice de la figura en el alzado U y su perspectiva U’ están alineados con la proyección del punto de vista V’ sobre el plano del cuadro en el alzado
http://la-perspectiva-conica.blogspot.com/
Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil. Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonalesdel objeto, se giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano.
En la figura un cilindro se proyecta punto por punto sobre el plano horizontal PH y el vertical PV. Como se hace mediante perpendiculares, la circunferencia de la base se transforma en el alzado en una línea recta, por ser el plano que la contiene perpendicular al plano vertical.
Por ser paralela a la planta, la cara superior del cilindro se transforma sobre este plano en un círculo igual.
La recta de intersección del plano vertical y horizontal se llama línea de tierra.
A continuación se gira el plano vertical 90º hasta hacerlo coincidir con el horizontal tomando como eje de giro la línea de tierra. El giro provoca que las dos vistas queden perfectamente alineadas en líneas ortogonales a la línea de tierra.
Las dos vistas diédricas (en planta y alzado) quedarían de esta forma. Tras el giro las proyecciones diédricas del objeto quedan siempre correlativas.
Quitamos la referencia del contorno de los dos planos y tenemos ya la planta y alzado. La línea de tierra se representa en sistema diédrico por una recta que separa la planta del alzado y con dos segmentos en sus extremos.
Si la pieza tiene más complejidad puede ser necesario representar otra vista en algún plano más de proyección. En la figura vemos el plano del perfil (PP).
En la figura vemos en color amarillo lo que se proyecta en el plano vertical, en rojo y verde en el horizontal y en verde sobre el plano del perfil.
En la planta se coloca la proyección ortogonal de la pieza “vista” desde arriba (en amarillo y azul claro). Correlativamente a la anterior aparece el alzado que es la vista frontal (naranja, verde y azul oscuro) y por último el perfil de la pieza (en rosa), como indica su denominación. Las partes no visibles de la pieza al observador según se coloca arriba para ver la planta, o de frente para ver el alzado aparecen discontinuas. Las líneas discontinuas son líneas que existen, que son intersección de superficies pero que no se pueden apreciar por estar detrás de alguna cara.
Una pieza con sus proyecciones en planta, alzado y perfil, y con una representaciónaxonométrica de la misma.
La pieza, como tiene un hueco prismático cuyas aristas son tangentes a algunas caras de la figura, estas líneas aparecen con una disposición continua ya que son visibles.
Vamos a representar en el sistema diédrico un prisma con otro prisma hueco en posición oblicua en su interior, para ello tenemos dos procedimientos:
Por un lado tenemos el sistema europeo en el que el observador se coloca encima de la pieza para verla desde arriba en planta. Se coloca detrás de la pieza para verla en el alzado o en el perfil. Con aproximación, lo que ve desde un punto de vista lejano para evitar la distorsión de las líneas concurrentes de la perspectiva, se parece a las proyecciones ortogonales del objeto sobre los tres planos de proyección.
Una vez que se han proyectado las tres vistas sobre los tres planos de proyección, el plano de perfil se gira 90° hasta hacerlo coincidir con el plano del alzado. A continuación se giran los dos planos hasta hacerlos coincidir con el de la planta, coincidiendo todos con el plano del cuadro o del papel. El giro siempre se hace respecto a la línea de intersección de los planos.
Por otro lado tenemos el sistema americano, en el que una representación práctica del mismo excluye al observador, el objeto simplemente es como si se reflejara sobre los tres planos de proyección siendo estos espejos. La imagen de las tres caras de la pieza reflejada son las que aparecen sobre los tres planos de proyección.
Para obtener las vistas de alzado y perfil, se giran ambos planos 90° hasta que coinciden con el plano de la planta, de esta forma se representan las tres vistas del sistema diédrico. La LT es una recta formada por un segmento grande alterno a dos pequeños y así sucesivamente.
En la figura observamos una pieza en perspectiva axonométrica isométrica con sus tres proyecciones diédricas, planta, alzado, y perfil. Como muchas caras de la figura son coincidentes con otras o con la continuación de otras, de las vistas diédricas es difícil deducir la forma de la pieza.
Si representamos nuevas vistas y mostramos el interior de la pieza mediante líneas discontinuas facilitamos la comprensión de la misma. Tenemos no obstante el mismo problema que en el dibujo anterior, algunas aristas de la pieza son coincidentes por lo que tiene muy mala interpretación, ni siquiera la que muestra sus caras en distintos colores se aprecia con facilidad. Como la axonometría isométrica hace coincidir las aristas confundiendo la interpretación de la pieza, conviene hacer un giro de la misma en el espacio para obtener una nueva proyección axonométrico, como en el dibujo siguiente.
En esta vista resulta más fácil interpretar la pieza, no obstante como faltan líneas discontinuas no podemos interpretar bien las partes del dibujo no visibles según el punto de vista imaginario de la pieza (imaginario por cuanto la axonometría no tiene punto de vista, es una proyección ortogonal cilíndrica, de ahí que todas las aristas paralelas de la pieza salgan también paralelas en el dibujo, por esto se dice que el paralelismo es un invariante proyectivo en esta perspectiva).
En esta nueva proyección axonométrica trimétrica, podemos ya diferenciar con total nitidez los distintos elementos de la pieza. En consecuencia, cuando unas vistas diédricas no son suficientes para la interpretación del dibujo, -como tampoco lo serían en esta pieza diferentes cortes o vistas auxiliares de la misma-, tenemos que dibujar una perspectiva preferentemente axonométrica en la que las aristas de la pieza no sean coincidentes.
Cuadrantes en s. diédrico
A la izquierda podemos observar los cuatro cuadrantes del sistema diédrico. En el primer cuadrante un punto A tiene sus dos proyecciones ortogonales A1 A2 sobre el plano horizontal y vertical respectivamente. Al girar el plano vertical en sentido contrario a las agujas del reloj, la proyección A2 vertical del punto A queda sobre la línea de tierra mientras que la horizontal A1 queda por debajo de ésta, como se ve en el dibujo de la derecha.
En el segundo cuadrante B con sus dos proyecciones horizontal y vertical B1 B2, respectivamente, se transforman mediante el giro del plano vertical en B1 B2, ambas sobre la línea de tierra, como se observa en el dibujo de la derecha.
En el tercer cuadrante C, podemos observar que al girar el plano vertical, la proyección vertical del punto C2 pasa a estar por debajo de la línea de tierra mientras que la proyección sobre el plano horizontal C1 queda por encima de la línea de tierra, conforme al dibujo de la derecha.
Un punto D en el cuarto cuadrante con sus dos proyecciones horizontal y vertical D1 D2, respectivamente, tenemos que mediante el giro del plano vertical se transforman en 2 puntos alineados sobre una vertical por debajo de la línea de tierra, conforme aparecen el dibujo de la derecha.
Representación de elementos en sistema diédrico mediante coordenadas.
Tenemos los dos planos de proyección, el horizontal y vertical. La intersección de ambos planos o línea de tierra es considerada como el eje X (en color rojo). La línea perpendicular al eje sobre el plano horizontal por un punto cualquiera es considerado el eje Y (en color magenta). A partir de este punto u origen de coordenadas (0,0) hacemos una recta vertical y la consideramos el eje Z.
De esta forma representamos los puntos en los distintos cuadrantes: el punto A esta a 20 unidades del origen de coordenadas sobre el eje X., a partir de este punto hacia la derecha tiene un alejamiento de cinco unidades (tomado sobre el eje y) y una altura o cota de tres unidades (tomado sobre el eje Z), por tanto las coordenadas del punto A son (20,5, 3). En sentido contrario del que hemos utilizado tendríamos unidades con un valor negativo, por ejemplo, el punto B tiene por coordenadas (9, -7,4), esto quiere decir que sobre el eje X. está a nueve unidades, que a partir de este punto hacia la izquierda siguiendo el eje Y está a -7 unidades, y a partir de este punto a una altura o cota de cuatro unidades se localiza el punto B. Un punto que esté en el segundo cuadrante tiene sobre el eje y valor negativo y sobre el eje Z. su valor positivo, mientras que sobre el eje X. puede tenerlo positivo o negativo indistintamente.
El punto C del tercer cuadrante tiene las coordenadas negativas tanto del eje y como del eje Z., de esta forma el punto tiene por coordenadas (0, -8, -2), ello quiere decir que tiene por alejamiento ocho unidades y por cota o altura dos, negativos ambos por estar en el tercer cuadrante.
El punto D tiene por coordenadas (15,6, -20), en este cuadrante Z tiene siempre un valor negativo, mientras que el valor de Y es siempre positivo.
El sistema diédrico puede facilitar la comprensión del fundamento de los demás sistemas de representación.
En la figura tenemos un cubo que se proyecta de forma oblicua y mediante líneas paralelas sobre un plano llamado de cuadro PC. Una al menos de las caras del cubo es paralela al plano del cuadro.
Podemos observar que un segmento vertical de 10 cm se transforma en otro de 9 cm, esto quiere decir que la reducción que se aplica en este sistema de representación es de nueve decimos.
Tenemos también que a partir del eje X se empieza a contar un ángulo en el sentido de las agujas del reloj hasta orientar el eje Y. El ángulo que forman estos dos ejes es el ángulo de la perspectiva caballera, 315º en este caso.
En la figura podemos observar la representación diédrica de la perspectiva caballera, la proyección en planta y alzado de cada uno de los elementos mediante líneas paralelas que transforman la figura en planta en su perspectiva caballera.
Sobre la planta haremos la perspectiva caballera de la figura, que no es más que la sombra de la figura proyectada sobre el plano de la planta. Como vemos en el alzado la cara roja del cubo se transforma en el plano XY sobre la planta, mientras que la cara superior del cubo (en color verde) se transforma en la perspectiva en la cara verde.
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En la figura podemos observar el fundamento del sistema axonométrico, tres ejes cartesianos, X Y Z se proyectan sobre un plano mediante líneas paralelas y de forma ortogonal al mismo. Estos tres ejes son la esquina de un cubo (forman entre sí dos a dos 90°, lo que en geometría se llama un triedro trirrectángulo).
Para obtener la verdadera medida del cubo que se proyecta de forma ortogonal sobre el plano del cuadro, se abaten las caras, de manera que podamos trabajar sobre el papel, sobre el plano del cuadro PC.
Sobre la cara abatida (x) (y) se colocan las vistas de la pieza y se proyectan ortogonalmente sobre la traza de la cara abatida hasta que cortan a los ejes x’ y’, obteniendo así la dimensión reducida sobre los mismos de las aristas del cubo.
En el dibujo tenemos la representación en sistema diédrico del triedro al que se ha abatido una cara, el abatimiento lo observamos en el alzado mediante el giro de la cara xy. Sobre la cara abatida (x) (y) se coloca una de las caras de la figura y se proyecta mediante ortogonales a la charnela hasta que intercepta a los ejes xy.
Al proyectar la forma plana tenemos que los vértices de esta inciden sobre los ejes de la axonometría xy, con lo que tenemos ya la perspectiva de la cara de la figura con su reducción correspondiente y en perspectiva axonométrica.
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En la figura tenemos el fundamento de la perspectiva cónica, por el punto de vista V se hacen paralelas a la dirección de las aristas de la pieza V-F1, V-F2, hasta que interceptan en el plano del cuadro a los puntos de fuga F1 F2. Los lados n de la proyección de la pieza sobre el plano de la base se prolongan hasta que cortan al plano del cuadro, obteniendo las trazas tn que unimos con los puntos de fuga F1. La intersección de estas líneas es el cuadrilátero en perspectiva en color amarillo sobre el plano del cuadro. Como ejemplo tenemos que la perspectiva de n es d.
Para obtener las alturas de la pieza se colocan a partir de la traza tn las dimensiones verticales e s en verdadera magnitud y las proyectamos o d hacia los puntos de fuga F1 obteniendo la perspectiva de estas líneas verticales. Como podemos observar cada punto de la pieza U y su perspectiva U’ están alineados con el punto de vista V, y este es el fundamento de la perspectiva cónica.
En la figura tenemos la representación en sistema diédrico de la perspectiva cónica con sus dos proyecciones solapadas. Como vemos en planta sobre el cuadrado verde se prolongan sus lados n hasta que cortan al plano del cuadro en las trazas tn, puntos que subimos al alzado sobre la línea de tierra. Por el punto de vista V se hacen líneas paralelas a los lados de la figura en la base obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta los puntos de fuga F1 F2. Estos puntos de fuga en planta se proyectan sobre el alzado sobre la línea que queda a la altura del punto de vista, que es la línea del horizonte F1 F2.
Uniendo los puntos de fuga con las trazas de la pieza tn-F1 tenemos la perspectiva del cuadrado verde sobre el alzado, que es el cuadrado amarillo. A partir de una de las trazas de estas líneas tn se colocan las medidas verticales e s de los elementos a representar. Estas dos medidas se proyectan hasta el punto de fuga F1 y donde interceptan a la vertical de cada punto q de la perspectiva del cuadrilátero amarillo tenemos la perspectiva cónica de la figura con sus dimensiones verticales en perspectiva. Podemos observar en la perspectiva que la proyección del punto de vista sobre la línea del horizonte, que llamamos punto principal, es tal que alinea
cada punto con su perspectiva, por ejemplo se puede observar que un vértice de la figura en el alzado U y su perspectiva U’ están alineados con la proyección del punto de vista V’ sobre el plano del cuadro en el alzado
http://la-perspectiva-conica.blogspot.com/
Fundamentos de la perspectiva:
http://proyeccion-gnomonica.blogspot.com/
http://proyeccion-central-conica.blogspot.com/
http://proyeccion-gnomonica.blogspot.com/
http://proyeccion-central-conica.blogspot.com/
Proyección central en movimiento y por pasos:
En la figura podemos observar el fundamento de la perspectiva cónica para una figura con un plano del cuadro oblicuo respecto a las tres caras de la misma.
Por el punto de vista se hacen rectas paralelas a cada una de las aristas de la figura hasta que interceptan al plano del cuadro en los puntos de fuga F M L. Alineando el punto de vista V con cada uno de los vértices de la figura Y tenemos en la intersección con el mismo la perspectiva de cada uno de los puntos Y’.
En la figura podemos observar la representación en planta, alzado y perfil de la figura anterior. Como el plano del cuadro coincide con el plano del dibujo en vez de inclinar éste hemos inclinado el plano de la base y la figura, que tiene al menos una de sus caras paralelas al mismo. Como observamos en la planta y en el perfil, alineamos el punto de vista con cada uno de los puntos de la figura y en la intersección con el plano del cuadro hacemos proyecciones ortogonales al mismo. Por ejemplo, en el perfil alineando el punto Y3 con el punto de vista V3 tenemos J3, y en la planta alineando su correspondiente Y1 con el punto de vista V1 obtenemos J1. La intersección de las ortogonales en planta y en el alzado por esto puntos de intersección Y1 J3 nos determinan la perspectiva de la figura en el alzado J2, de igual forma procedemos con los demás puntos de la figura. Podemos comprobar que esta perspectiva es cierta, que es la figura tal y como la ve un sujeto desde el punto de vista V1 colocado a esa distancia en planta respecto al plano del cuadro PC, si prolongamos las aristas de la figura en perspectiva observamos que se cortan en tres puntos de fuga F2 L2 M2 que coinciden sobre la intersección de las ortogonales que pasan por los puntos de fuga. Como ejemplo obtenemos L2 de la intersección de las ortogonales por los puntos L1 L3 en la planta y en el perfil. También podemos observar que el punto de vista proyectado sobre el plano del cuadro en el alzado, que es el punto principal P2, está alineado con cada punto de la figura y su perspectiva, como ejemplo los puntos Y2-J2-P2 están alineados.
http://perspectiva-de-cuadro-inclinado.blogspot.com/
Obtención de los parámetros de un objeto a partir de su perspectiva:
Perspectiva cónica en movimiento y por pasos:
Perspectiva de cuadro semiesférico:
En la figura podemos observar el fundamento de la perspectiva cónica para una figura con un plano del cuadro oblicuo respecto a las tres caras de la misma.
Por el punto de vista se hacen rectas paralelas a cada una de las aristas de la figura hasta que interceptan al plano del cuadro en los puntos de fuga F M L. Alineando el punto de vista V con cada uno de los vértices de la figura Y tenemos en la intersección con el mismo la perspectiva de cada uno de los puntos Y’.
En la figura podemos observar la representación en planta, alzado y perfil de la figura anterior. Como el plano del cuadro coincide con el plano del dibujo en vez de inclinar éste hemos inclinado el plano de la base y la figura, que tiene al menos una de sus caras paralelas al mismo. Como observamos en la planta y en el perfil, alineamos el punto de vista con cada uno de los puntos de la figura y en la intersección con el plano del cuadro hacemos proyecciones ortogonales al mismo. Por ejemplo, en el perfil alineando el punto Y3 con el punto de vista V3 tenemos J3, y en la planta alineando su correspondiente Y1 con el punto de vista V1 obtenemos J1. La intersección de las ortogonales en planta y en el alzado por esto puntos de intersección Y1 J3 nos determinan la perspectiva de la figura en el alzado J2, de igual forma procedemos con los demás puntos de la figura. Podemos comprobar que esta perspectiva es cierta, que es la figura tal y como la ve un sujeto desde el punto de vista V1 colocado a esa distancia en planta respecto al plano del cuadro PC, si prolongamos las aristas de la figura en perspectiva observamos que se cortan en tres puntos de fuga F2 L2 M2 que coinciden sobre la intersección de las ortogonales que pasan por los puntos de fuga. Como ejemplo obtenemos L2 de la intersección de las ortogonales por los puntos L1 L3 en la planta y en el perfil. También podemos observar que el punto de vista proyectado sobre el plano del cuadro en el alzado, que es el punto principal P2, está alineado con cada punto de la figura y su perspectiva, como ejemplo los puntos Y2-J2-P2 están alineados.
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Figuras, formas geométricas y desarrollos.
En la figura observamos una forma de construir esferas tangentes en el espacio. Los centros de las esferas son los vértices de un poliedro regular y sus radios corresponden a la mitad de cada arista del poliedro. Como el poliedro regular tiene todas las caras iguales tenemos que todas las esferas tienen el mismo diámetro y al mismo tiempo son tangentes en el punto medio de cada arista. En la figura observamos un icosaedro regular en planta, alzado y perfil. En cada vértice del icosaedro se ha dibujado una esfera tomando como radio la mitad de la arista con lo que todas las esferas son iguales y tangentes entre sí.
Si el poliedro es arquimediano y por tanto está formado por polígonos regulares distintos aunque también regulares (de lados iguales), las esferas tendrán también el mismo tamaño aunque permanecerán tangentes entre sí, manteniendo una distancia mayor entre ellas por ser unas caras mayores que otras como se puede observar en este icosidodecaedro dado en planta y alzado.
Para dibujar ejercicios de esferas tangentes cuyos centros están en un mismo plano basta con hacer un ejercicio de circunferencias tangentes en el plano y darle volumen a las mismas.
http://tangencias-inversion.blogspot.com/
http://tangencias-potencia.blogspot.com/
http://tangencias-y-enlaces.blogspot.com/
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teoremas-de-arbelos.html
El teorema del cateto se representa en la planta de forma gráfica, y viene a decir que el rectángulo amarillo y el cuadrado azul son equivalentes que quiere decir que tienen la misma área (http://figuras-equivalentes.blogspot.com/).
Representamos el teorema del cateto en planta y en el alzado le damos la misma altura a los dos prismas. Como tienen igual área en la base, al tener la misma altura tienen el mismo volumen, de esta forma hemos calculado un cubo que tiene el mismo volumen que un prisma. Podemos coger los teoremas de equivalencias para calcular figuras equivalentes y hacer sus figuras correspondientes en tres dimensiones, esto es, con volumen.
El teorema del cateto se representa en la planta de forma gráfica, y viene a decir que el rectángulo amarillo y el cuadrado azul son equivalentes que quiere decir que tienen la misma área (http://figuras-equivalentes.blogspot.com/).Representamos el teorema del cateto en planta y en el alzado le damos la misma altura a los dos prismas. Como tienen igual área en la base, al tener la misma altura tienen el mismo volumen, de esta forma hemos calculado un cubo que tiene el mismo volumen que un prisma. Podemos coger los teoremas de equivalencias para calcular figuras equivalentes y hacer sus figuras correspondientes en tres dimensiones, esto es, con volumen.
Al igual que se hizo con las figuras equivalentes, podemos seguir el mismo procedimiento para hacer figuras proporcionales en el espacio -esto es, que tienen la misma forma pero distinto tamaño (http://proporcion-escala-semejanza-homotecia.blogspot.com/).
Construimos dos figuras homotéticas (homólogas de eje impropio), que quiere decir que son proporcionales y al mismo tiempo que tienen sus vértices alineados con un centro de proyección O. La construcción de las figuras homotéticas las hacemos en la planta y en el alzado dibujamos sus correspondientes proyecciones verticales de manera que las dos alturas de los prismas estén también alineadas con el centro de proyección O. Como todos los segmentos o aristas de los prismas están alineados en sus vértices con el centro de proyección O, esto quiere decir que las figuras son iguales de forma aunque de distinto tamaño, esto es, homotéticas en el espacio.
El sistema diédrico es el más adecuado de los sistemas de representación para dibujar las acotaciones (medidas) de las piezas, ya que nos muestra caras en verdadera forma (con dimensiones reales o a escala) que no aparecen distorsionadas por el efecto de la perspectiva. Hay una normativa básica que debemos seguir para poder entender los dibujos:http://acotacion-normalizada.blogspot.com/.http://secciones-cortes-roturas.blogspot.com/
El cálculo de sombras y de reflejos en el sistema diédrico facilita en gran medida la comprensión de los dibujos:http://calculo-de-sombras.blogspot.com/,
http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/
http://sombras-en-perspectiva-conica.blogspot.com/
Pieza representada en planta, alzado y perfil con vista auxiliar y representación en perspectiva axonométrica isométrica.
Modos de dibujar en axonometría:
http://perspectiva-axonometrica.blogspot.com/
http://perspectiva-caballera.blogspot.com/
El cálculo de sombras y de reflejos en el sistema diédrico facilita en gran medida la comprensión de los dibujos:http://calculo-de-sombras.blogspot.com/,http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/
http://sombras-en-perspectiva-conica.blogspot.com/
Pieza representada en planta, alzado y perfil con vista auxiliar y representación en perspectiva axonométrica isométrica.Modos de dibujar en axonometría:
http://perspectiva-axonometrica.blogspot.com/
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Aquí podemos observar la sombra arrojada sobre el suelo que produce un rectángulo rojo a y un objeto formado por dos prismas paralelepípedos con sus sombras propias y arrojadas, ambos objetos son iluminados por el sol, que está en la dirección d y forma un ángulo h llamado altitud respecto al plano horizontal, determinado por su dirección d y por su proyección ortogonal d1 sobre el plano horizontal.Otra parámetro que determina la localización del sol es el ángulo g que forma la línea norte-sur respecto al plano vertical que contiene al rayo solar d, a este ángulo se le llama acimut y se cuenta en el sentido de las agujas del reloj.
Como podemos observar en el dibujo, la proyección ortogonal de un rayo solar d1 sobre el plano horizontal del suelo, es la dirección que siguen las sombras de las líneas verticales de los prismas, en el dibujo señalado con la letra m. Mientras que la dirección de cualquier rayo solar d se proyecta en el alzado según la dirección n que es la dirección de la sombra arrojada de un segmento perpendicular al plano vertical.
En el dibujo observamos en el sistema diédrico los elementos de la escena anterior. Como podemos observar en el dibujo, el sol está tan alejado que los rayos se consideran paralelos, por lo que líneas paralelas del prisma generan sombras paralelas, las sombras de las líneas verticales son todas paralelas a la dirección de la sombra arrojada as.El rayo solar queda definido como cualquier recta en sistema diédrico, por su dirección d1 en planta, y su dirección d2 en el alzado. El prisma doble con sus sombras propias y arrojadas y el cuadrilátero paralelogramo a de color rojo con su sombra as sobre el plano horizontal.
La línea norte-sur NS determina con la sombra arrojada as del cuadrilátero, el ángulo g llamado acimut, que se cuenta a partir de la línea norte-sur hacia la derecha o en el sentido de las agujas del reloj.
La altitud h aparece en color azul, y es el ángulo que forma la proyección ortogonal del rayo solar sobre el suelo, esto es, la sombra as sobre el plano horizontal, y el rayo solar d1. Como el plano que contiene a estas dos líneas es vertical necesitamos abatirlo para tener su verdadera magnitud. Al abatirlo obtenemos (d1), el ángulo entre esta línea y d1 es la altitud h del sol y aparece en verdadera forma en planta tras su abatimiento.
De esta manera en la planta tenemos determinada la posición exacta del sol, el ángulo g que forma su dirección respecto a la línea norte-sur en color verde (acimut), y el ángulo h que define su dirección respecto al plano horizontal y en color azul (altitud).
Observamos un reloj de sol y su construcción. Una varilla llamada gnomom proyecta la sombra sobre un plano amarillo o plano del cuadrante, en este caso horizontal. Un plano azul llamado s, es perpendicular a la varilla y describe la trayectoria del sol en una circunferencia completa, esto quiere decir que los 360° que cubre se divide entre las 24 horas del día de lo que resulta que el ángulo entre las rectas de la radiación sobre el plano azul es de 15°. Donde estas rectas cortan al plano amarillo, se unen con el punto de intersección de la varilla con el plano amarillo del cuadrante. Tenemos entonces que la sombra de la varilla es cada una de las líneas de color rosa que están sobre el plano amarillo. Teniendo en cuenta que en la línea norte-sur el sol proyecta la sombra de la varilla a las 12 de la mañana sobre el plano amarillo, a la derecha 15° tenemos la sombra de las 13 horas, la segunda varilla a 30° respecto a la línea norte-sur tenemos las 14 horas, la tercera varilla a las 15 horas, la cuarta varilla a las 16 horas, etcétera.La posibilidad de dibujar en el sistema diédrico la figura nos facilita su fácil comprensión y construcción, ya que solo hay que tener en cuenta que sobre el plano azul todas las rectas que cortan a la varilla forman entre sí 15° y que el ángulo que forma la varilla con el plano amarillo es exactamente el de la latitud del lugar donde se pone el reloj de sol, ya que se demuestra en geometría que para que el sol proyecte de igual forma las horas en ángulos iguales, la varilla tiene que ser paralela al eje terrestre de rotación y esto supone que el ángulo entre la varilla y el plano horizontal o cuadrante horizontal en este caso, sea igual al ángulo entre el plano del Ecuador terrestre y el punto de lugar donde se ubica el reloj que no es otra cosa que la latitud.
Como podemos observar en el perfil de la esfera terrestre estamos situados en la latitud norte a 40° definido el ángulo a partir del Ecuador.El cuadrante del reloj es un plano horizontal que se apoya en el punto P, nuestra localización. Como podemos observar en el dibujo, los 90° que forman el eje terrestre y el Ecuador menos la latitud es igual al ángulo amarillo.
En nuestro reloj de sol, la vertical y el cuadrante forman 90° por lo que siendo el gnomon una recta paralela al eje terrestre tenemos que el gnomon forma con la vertical el mismo ángulo amarillo que la vertical con el eje terrestre, de lo que se desprende que la latitud (90º menos el ángulo amarillo) es igual al ángulo que forma el gnomon y el cuadrante (90º menos el ángulo amarillo).
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En la figura observamos distintas formas de representar la perspectiva de un objeto, una proyección cilíndrica ortogonal o axonométrica en la que las paralelas de la figura se mantienen invariables y una perspectiva lineal, central o cónica (semejante a la que aprecia nuestra vista) en la que las paralelas siempre tienen un punto en común, llamado de fuga.
En la figura observamos distintas formas de representar la perspectiva de un objeto, una proyección cilíndrica ortogonal o axonométrica en la que las paralelas de la figura se mantienen invariables y una perspectiva lineal, central o cónica (semejante a la que aprecia nuestra vista) en la que las paralelas siempre tienen un punto en común, llamado de fuga.
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Si las verticales se cortan en otro punto común tenemos que la perspectiva es de plano inclinado. http://perspectiva-de-cuadro-inclinado.blogspot.com/
Si a parte del punto común o fuga de las verticales (por la parte inferior en este caso) tenemos otra fuga común para estas líneas por la parte superior tenemos una nueva perspectiva no euclídea llamada curvilínea:
En la figura observamos un icosaedro y un dodecaedro en planta y alzado. Como podemos observar ambos están inscritos en un cubo y sus aristas a b están centradas en el centro de cada cara del cubo. Si sumamos la arista del dodecaedro a la arista del icosaedro b comprobamos que son del tamaño de la arista del cubo d. Podemos comprobar también que la arista del cubo es a la arista del icosaedro como la arista del icosaedro es a la arista del dodecaedro, por lo que tenemos que las tres medidas están en proporción áurea d/b=b/a, una relación mágica entre dos segmentos cuyo cociente es 1,618 y que aparece de forma continua y necesaria en el orden de la naturaleza. Además en las dos proyecciones en alzado de las figuras la arista del icosaedro es igual a la diagonal de cada cara pentagonal del dodecaedro, ya que en todo pentágono regular el lado y su diagonal están en proporción áurea.
http://la-proporcion-aurea.blogspot.com/
http://dodecaedro-en-icosaedro.blogspot.com.es/
Figura formada por un prisma en forma de cuña en el que se ha introducido otro prisma de base rómbica respetando el hueco que produce en su desplazamiento.
Figura formada por un prisma en forma de cuña en el que se ha introducido otro prisma de base rómbica respetando el hueco que produce en su desplazamiento.
Un octaedro regular es un poliedro regular formado por ocho caras que son triángulosequiláteros. Un triángulo equilátero es un polígono regular, esto es, el que tiene los lados y ángulos iguales(http://poligonos-regulares.blogspot.com/).
El octaedro se puede construir uniendo dos pirámides unidas por sus bases cuadradas.
Las tres diagonales del poliedro tienen el mismo tamaño de ahí que tanto la proyección en planta como la proyección A sean cuadrados. La proyección de una cara en verdadera magnitud como la que corresponde a la vista auxiliar B genera como contorno de la figura un hexágono regular.
http://poligos-regulares-dinamicos.blogspot.com.es/
Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. Tenemos en la sección paralela a una cara A-A que al desplazar el plano siempre paralelo a la misma se va transformando en un triángulo equilátero cada vez más pequeño que llega a convertirse en un punto. Una posible vista de la figura tiene por planta un cuadrado B -es la vista auxiliar perpendicular a una de las aristas de la figura- ya que las diagonales que se cruzan ortogonalmente forman entre sí 90° y son de igual tamaño.
Esta superficie se genera por la evolución de una circunferencia que se va transformando en una elipse, por esto se denomina superficie de evolución. Es también una superficie reglada alabeada ya que podemos unir mediante rectas sus dos bases, la circunferencia y laelipse. Si al prolongar las generatrices que unen las dos curvas tenemos una recta, la superficie es un conoide, de ahí que podemos decir que es un conoide truncado.
Una superficie reglada alabeada se puede obtener mediante rectas que unen dos curvas como la figura. La figura está formada por la unión de rectas entre dos directrices de distinto sentido de distintas alturas. Como se tiene que las rectas que forman la superficie son siempre paralelas al plano del perfil de proyección y además se está uniendo una circunferencia con una recta que pasa por la mitad de la figura, tenemos que la superficie está formada por dos semi-conoides.
http://superficies-regladas-alabeadas.blogspot.com/
Un prisma al que se le ha restado un cilindro interior que pasa por el eje.
Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. Tenemos en la sección paralela a una cara A-A que al desplazar el plano siempre paralelo a la misma se va transformando en un triángulo equilátero cada vez más pequeño que llega a convertirse en un punto. Una posible vista de la figura tiene por planta un cuadrado B -es la vista auxiliar perpendicular a una de las aristas de la figura- ya que las diagonales que se cruzan ortogonalmente forman entre sí 90° y son de igual tamaño.
Esta superficie se genera por la evolución de una circunferencia que se va transformando en una elipse, por esto se denomina superficie de evolución. Es también una superficie reglada alabeada ya que podemos unir mediante rectas sus dos bases, la circunferencia y laelipse. Si al prolongar las generatrices que unen las dos curvas tenemos una recta, la superficie es un conoide, de ahí que podemos decir que es un conoide truncado.
Una superficie reglada alabeada se puede obtener mediante rectas que unen dos curvas como la figura. La figura está formada por la unión de rectas entre dos directrices de distinto sentido de distintas alturas. Como se tiene que las rectas que forman la superficie son siempre paralelas al plano del perfil de proyección y además se está uniendo una circunferencia con una recta que pasa por la mitad de la figura, tenemos que la superficie está formada por dos semi-conoides.http://superficies-regladas-alabeadas.blogspot.com/
Un prisma al que se le ha restado un cilindro interior que pasa por el eje.
Una esfera que se le ha restado un cono y un prisma en forma de cuña.
Cono con hueco en forma de toro.
Un hiperboloide de una hoja con sus posibles secciones cónicas.
El hiperboloide de una hoja está engendrado por una hipérbola que gira en torno a un eje. La suavidad de esta curva cónica hace que se utilice en elementos de diseño aerodinámico como encoches, barcos, aviones, etc.
Figura simétrica formada por dos conos unidos por su base en los que se ha practicado un hueco con otros dos conos invertidos. La figura se puede engendrar por la revolución de un cuadrado que gira en torno a un eje de manera que su diagonal es perpendicular al mismo.
Intersección de un prisma cuya base es un rombo, con una superficie esférica y otra cilíndrica enlazadas y en las que se ha practicado dos huecos esféricos.
Helizoide recto. Superficie que genera una recta que ortogonalmente a un eje gira y al mismo tiempo se desplaza a través de él, manteniéndose siempre ortogonal.http://helicoides.blogspot.com/
Esfera con un cilindro, semiesfera y un prisma huecos en su interior.
Un prisma en el que se ha practicado el empalme de sus vértices y aristas, aplicando en los mismos esferas y cilindros respectivamente. La norma permite para este tipo de superficies hacer líneas finas en la unión de las superficies tangentes para definir mejor las formas. En el interior se ha practicado un hueco que se transforma de rectángulo en circunferencia, por lo que es una superficie de evolución que va transformando el rectángulo en otro al que se le va redondeando los vértices hasta convertirse en una circunferencia.
Figura formada por cuatro piezas con un cilindro hueco que la atraviesa.
Figura formada por cuatro piezas. Está construida por la intersección de una esfera y un prisma cuyo eje pasa por su centro y a la que se le ha restado otro prisma interior.
Prisma al que se le ha restado otro prisma y un cilindro.
Esfera dividida en ocho partes iguales a la que se le ha quitado cuatro de sus partes.La esfera de metal refleja el entorno, una perspectiva que es posible calcular mediante el cálculo de reflejos.
Esfera con un hexaedro hueco en su interior (poliedro de 6 caras) al que se le han extruido las caras.http://geometria-de-la-esfera.blogspot.com/
http://proyeccion-estereografica.blogspot.com/
Figura formada por la intersección de tres cilindros de ejes ortogonales entre sí y a la que se le ha practicado un hueco en forma de prisma.
Trapecio extruido con dos huecos cilíndricos.
Figura formada por la intersección de tres cilindros de ejes ortogonales entre sí. La figura esta proyectada en planta, alzado y perfil y contiene una vista auxiliar.
Plancha en forma de paraboloide hiperbólico.
Paraboloide hiperbólico con sus tres proyecciones: en planta y perfil un triángulo y en el alzado un trapecio.
Como se ve en la figura el paraboloide hiperbólico se puede engendrar por una línea que al tiempo que gira se desplaza en una dirección distinta del plano que la contiene -en vez de una recta se ha cogido un rectángulo para que la figura tuviera volumen. En la planta observamos la figura de un rectángulo, la base que se desplaza a cierta altura al tiempo que gira, con lo que engendra la superficie de este paraboloide hiperbólico con grosor.
Un octaedro regular al que se le ha practicado un hueco cilíndrico.
Un muelle engendrado por una esfera que se desplaza siguiendo un helicoide es un serpentín. El helicoide se engendra por un punto que se mueve en una circunferencia que al mismo tiempo se traslada por un eje perpendicular a su centro.
En la siguiente página podemos observar la transformación cilíndrica a esférica de un serpentín y otras transformaciones:
http://poliedroestrellado.blogspot.com/
Un icosidodecaedro es unpoliedro arquimediano que se puede obtener al cortar el dodecaedro regular o el icosaedro regular. Como todo poliedro arquimediano está formado por polígonos regulares aunque no todos iguales. En la figura se observan dos secciones del poliedro, en una de ellas, en corte que determina CC, el plano pasa por los vértices de los cincos triángulos equiláteros, por lo que se obtiene un pentágono regular.
Un icosaedro regular es unpoliedro regular, por lo tanto tiene todas las caras iguales, siendo éstas polígonos regulares. Tiene por caras 20 triángulos equiláteros y es un poliedro dual del dodecaedro, ello quiere decir que si cogemos los puntos medios de cada cara y los unimos obtendremos el dodecaedro regular, de igual forma si cogemos los puntos medios del dodecaedro regular obtenemos el icosaedro regular.
Esta figura es un poliedro arquimediano que se engendra al achaflanar los vértices y aristas del icosaedro regular. En la sección AA se muestra el interior de la figura, el hecho de que se puedan ver las caras quiere decir que el objeto es una superficie y no un sólido, o sea que es hueco.
Dodecaedro regular con sus caras coloreadas para una mejor comprensión de la pieza. Como se puede ver en los colores, de una proyección a otra sólo coincide una única cara, esto quiere decir que de las cuatro caras que tenemos en planta, sólo una se ve en el alzado: la amarilla. De las cuatro del alzado sólo se ve uno en el perfil, la rosa.
Cono al que se le ha quitado una superficie cilíndrica y otra en forma de toro. Como la penetración de estas dos últimas figuras se hace de forma tangencial, las curvas alabeadas que se producen tienen forma de ocho, y están adecuados al mismo tiempo la superficie cónica, ya que son curvas de intersección de ambas superficies.
Cono en planta y alzado con tres posibles seccionescónicas del mismo: cuando el plano cortante es paralelo dos generatrices, tenemos la hipérbola, cuando es paralelo a una generatriz tenemos la parábola y cuando no es paralelo a ninguna tenemos la elipse.
Cuando el plano que corta el cono se va girando produce las distintas secciones cónicas, en el caso de que el plano de corte se desplace y llegue a ser tangente al cono en una generatriz, la curvacónica se transforma en una recta a la que se le llama cónica degenerada. Otra cónica degenerada es cuando el plano de corte pasa por el vértice produciendo dos nuevas posibles figuras, dos rectas que cortan al cono y pasan por el vértice del mismo o bien que el plano pase por el vértice sin cortar a la superficie con lo que la cónica degenerada es un punto.
Esfera con un hueco prismático de base triangular equilátera.
Figura de evolución que transforma una circunferencia en un cuadrado de forma progresiva. Una sección a cierta altura engendra una curva entre el cuadrado y el círculo, según nos acercamos al cuadrado, los arcos de circunferencia de la nueva figura tienen su centro cada vez más alejado. En el momento en que sea un cuadrado, los centros de las circunferencias de los lados de la figura estarán en el infinito.
Posibles secciones de una plancha con forma de paraboloide hiperbólico, observamos que cuando el plano cortante BB contiene una generatriz y es paralelo a un plano director, la sección es una línea recta.
El paraboloide elíptico es una superficie de revolución engendrada por una parábola que gira en torno a su eje. Las posibles secciones del paraboloide son, como vemos en la figura una parábola, una elipse o una circunferencia.
Para la construcción de los poliedros arquimedianos existen dos tipos de truncamiento de los poliedros regulares, aquel cuyo plano cortante pasa por la mitad de la arista -tipo1- o aquel truncamiento que pasa por un tercio aproximado de la arista -tipo2-, de forma que el polígono resultante sea regular, como en la figura.
El icosaedro regular se puede construir con pirámides de bases pentagonales cuyos lados son triángulos equiláteros, de esta forma la sección F-F tenemos que es un pentágono. La misma forma aparece en la vista auxiliar que sigue la dirección D, en la que se proyecta otro pentágono regular. Por otro lado en la proyección obtenida en la dirección C, una cara de la figura aparece en verdadera forma y el contorno del poliedro es un hexágono regular, aunque la sección del mismo no produzca esta figura, ya que los lados de este hexágono regular no son coplanarios.
Un sólido en forma de cono al que se le ha practicado dos huecos esféricos. Como las esferas huecas son tangentes al cono dividen a este en tres partes. El plano de corte A-A que es tangente a las dos esferas genera una sección elíptica en la que los puntos de tangencia a las esferas son los focos de la elipse, según el teorema de Dandelin:
http://curvas-conicas.blogspot.com/
El cilindro representado en planta y alzado con superspectiva axonométricaisométrica. Si bien una circunferencia en perspectiva se transforma en una elipse, se puede sustituir ésta, por su parecido, por un óvalo en el que para hacer sus arcos hacemos centro sobre el vértice del cuadrilátero de la base. Para hacer el arco menor hacemos desde el centro anterior una recta perpendicular a uno de los lados del rombo, donde ésta recta corte al eje horizontal tenemos el centro del otro arco.
El cono en planta y alzado y su representación en perspectiva axonométrica isométrica. De igual forma para hacer la base se ha construido un óvalo con los centros que se marcan en la figura.
La elipse que ha sido sustituida es una curva más suave que el óvalo y no se nota en ella la diferente transición entre sus puntos como en los de enlace entre dos arcos del óvalo. Otra diferencia notable entre las dos figuras es que si dibujamos la elipse correspondiente al cuadrilátero en la que se inscribe el óvalo, la elipse aparece más afilada, más excéntrica, esto quiere decir que el eje mayor es de más dimensión que el del óvalo.
Cono en planta y alzado apoyado sobre un plano proyectantes vertical. Para dibujar esta figura se debe partir primero del alzado del cono para proyectar a continuación sus puntos sobre la planta. En la planta el eje de la circunferencia se transformara en un eje menor de la elipse y vendrá dado por la intersección de la recta horizontal por donde pasa el vértice y la proyección de la base del cono del alzado. Mientras que el eje mayor se corresponde con el diámetro del cono del alzado, ya que en éste está en verdadera magnitud.
Para hacer los planos tangentes a un cono desde un punto exterior P, unimos ese punto con el vértice V del cono y tenemos la traza de la recta Ha en su prolongación. Desde esa traza se hacen las tangentes x1 g1 a la base del cono y los puntos de tangencia de la circunferencia se unen con el vértice del cono. Estas rectas de unión de los puntos de tangencia con el vértice del cono son las líneas tangentes de los planos al cono y los dos planos tangentes eran determinados por las rectas x1-a g1-a.
Superficie de revolución formada por dos conos y dos esferas. En la esfera exterior sólida contiene un cono hueco que asimismo contiene una esfera sólida tangente al mismo y dentro de esta segunda esfera otro cono invertido respecto al anterior.
Las dos esferas son sólidas mientras que los dos conos son huecos. Como el cono tiene su base tangente a la esfera, divide a la esfera en dos figuras.
La figura está formada por una esfera a la que se le ha restado un cilindro elíptico.
Figura formada por la intersección de tres cilindros de ejes ortogonales entre sí y a la que se le ha practicado un hueco en forma de prisma.
Trapecio extruido con dos huecos cilíndricos.
Figura formada por la intersección de tres cilindros de ejes ortogonales entre sí. La figura esta proyectada en planta, alzado y perfil y contiene una vista auxiliar.
Plancha en forma de paraboloide hiperbólico.
Paraboloide hiperbólico con sus tres proyecciones: en planta y perfil un triángulo y en el alzado un trapecio.
Como se ve en la figura el paraboloide hiperbólico se puede engendrar por una línea que al tiempo que gira se desplaza en una dirección distinta del plano que la contiene -en vez de una recta se ha cogido un rectángulo para que la figura tuviera volumen. En la planta observamos la figura de un rectángulo, la base que se desplaza a cierta altura al tiempo que gira, con lo que engendra la superficie de este paraboloide hiperbólico con grosor.
Un octaedro regular al que se le ha practicado un hueco cilíndrico.
Un muelle engendrado por una esfera que se desplaza siguiendo un helicoide es un serpentín. El helicoide se engendra por un punto que se mueve en una circunferencia que al mismo tiempo se traslada por un eje perpendicular a su centro.En la siguiente página podemos observar la transformación cilíndrica a esférica de un serpentín y otras transformaciones:
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Un icosidodecaedro es unpoliedro arquimediano que se puede obtener al cortar el dodecaedro regular o el icosaedro regular. Como todo poliedro arquimediano está formado por polígonos regulares aunque no todos iguales. En la figura se observan dos secciones del poliedro, en una de ellas, en corte que determina CC, el plano pasa por los vértices de los cincos triángulos equiláteros, por lo que se obtiene un pentágono regular.
Un icosaedro regular es unpoliedro regular, por lo tanto tiene todas las caras iguales, siendo éstas polígonos regulares. Tiene por caras 20 triángulos equiláteros y es un poliedro dual del dodecaedro, ello quiere decir que si cogemos los puntos medios de cada cara y los unimos obtendremos el dodecaedro regular, de igual forma si cogemos los puntos medios del dodecaedro regular obtenemos el icosaedro regular.
Esta figura es un poliedro arquimediano que se engendra al achaflanar los vértices y aristas del icosaedro regular. En la sección AA se muestra el interior de la figura, el hecho de que se puedan ver las caras quiere decir que el objeto es una superficie y no un sólido, o sea que es hueco.
Dodecaedro regular con sus caras coloreadas para una mejor comprensión de la pieza. Como se puede ver en los colores, de una proyección a otra sólo coincide una única cara, esto quiere decir que de las cuatro caras que tenemos en planta, sólo una se ve en el alzado: la amarilla. De las cuatro del alzado sólo se ve uno en el perfil, la rosa.
Cono al que se le ha quitado una superficie cilíndrica y otra en forma de toro. Como la penetración de estas dos últimas figuras se hace de forma tangencial, las curvas alabeadas que se producen tienen forma de ocho, y están adecuados al mismo tiempo la superficie cónica, ya que son curvas de intersección de ambas superficies.
Cono en planta y alzado con tres posibles seccionescónicas del mismo: cuando el plano cortante es paralelo dos generatrices, tenemos la hipérbola, cuando es paralelo a una generatriz tenemos la parábola y cuando no es paralelo a ninguna tenemos la elipse.
Cuando el plano que corta el cono se va girando produce las distintas secciones cónicas, en el caso de que el plano de corte se desplace y llegue a ser tangente al cono en una generatriz, la curvacónica se transforma en una recta a la que se le llama cónica degenerada. Otra cónica degenerada es cuando el plano de corte pasa por el vértice produciendo dos nuevas posibles figuras, dos rectas que cortan al cono y pasan por el vértice del mismo o bien que el plano pase por el vértice sin cortar a la superficie con lo que la cónica degenerada es un punto.
Esfera con un hueco prismático de base triangular equilátera.
Figura de evolución que transforma una circunferencia en un cuadrado de forma progresiva. Una sección a cierta altura engendra una curva entre el cuadrado y el círculo, según nos acercamos al cuadrado, los arcos de circunferencia de la nueva figura tienen su centro cada vez más alejado. En el momento en que sea un cuadrado, los centros de las circunferencias de los lados de la figura estarán en el infinito.
Posibles secciones de una plancha con forma de paraboloide hiperbólico, observamos que cuando el plano cortante BB contiene una generatriz y es paralelo a un plano director, la sección es una línea recta.
El paraboloide elíptico es una superficie de revolución engendrada por una parábola que gira en torno a su eje. Las posibles secciones del paraboloide son, como vemos en la figura una parábola, una elipse o una circunferencia.
Para la construcción de los poliedros arquimedianos existen dos tipos de truncamiento de los poliedros regulares, aquel cuyo plano cortante pasa por la mitad de la arista -tipo1- o aquel truncamiento que pasa por un tercio aproximado de la arista -tipo2-, de forma que el polígono resultante sea regular, como en la figura.
El icosaedro regular se puede construir con pirámides de bases pentagonales cuyos lados son triángulos equiláteros, de esta forma la sección F-F tenemos que es un pentágono. La misma forma aparece en la vista auxiliar que sigue la dirección D, en la que se proyecta otro pentágono regular. Por otro lado en la proyección obtenida en la dirección C, una cara de la figura aparece en verdadera forma y el contorno del poliedro es un hexágono regular, aunque la sección del mismo no produzca esta figura, ya que los lados de este hexágono regular no son coplanarios.
Un sólido en forma de cono al que se le ha practicado dos huecos esféricos. Como las esferas huecas son tangentes al cono dividen a este en tres partes. El plano de corte A-A que es tangente a las dos esferas genera una sección elíptica en la que los puntos de tangencia a las esferas son los focos de la elipse, según el teorema de Dandelin:http://curvas-conicas.blogspot.com/
El cilindro representado en planta y alzado con superspectiva axonométricaisométrica. Si bien una circunferencia en perspectiva se transforma en una elipse, se puede sustituir ésta, por su parecido, por un óvalo en el que para hacer sus arcos hacemos centro sobre el vértice del cuadrilátero de la base. Para hacer el arco menor hacemos desde el centro anterior una recta perpendicular a uno de los lados del rombo, donde ésta recta corte al eje horizontal tenemos el centro del otro arco.
El cono en planta y alzado y su representación en perspectiva axonométrica isométrica. De igual forma para hacer la base se ha construido un óvalo con los centros que se marcan en la figura.La elipse que ha sido sustituida es una curva más suave que el óvalo y no se nota en ella la diferente transición entre sus puntos como en los de enlace entre dos arcos del óvalo. Otra diferencia notable entre las dos figuras es que si dibujamos la elipse correspondiente al cuadrilátero en la que se inscribe el óvalo, la elipse aparece más afilada, más excéntrica, esto quiere decir que el eje mayor es de más dimensión que el del óvalo.
Cono en planta y alzado apoyado sobre un plano proyectantes vertical. Para dibujar esta figura se debe partir primero del alzado del cono para proyectar a continuación sus puntos sobre la planta. En la planta el eje de la circunferencia se transformara en un eje menor de la elipse y vendrá dado por la intersección de la recta horizontal por donde pasa el vértice y la proyección de la base del cono del alzado. Mientras que el eje mayor se corresponde con el diámetro del cono del alzado, ya que en éste está en verdadera magnitud.
Para hacer los planos tangentes a un cono desde un punto exterior P, unimos ese punto con el vértice V del cono y tenemos la traza de la recta Ha en su prolongación. Desde esa traza se hacen las tangentes x1 g1 a la base del cono y los puntos de tangencia de la circunferencia se unen con el vértice del cono. Estas rectas de unión de los puntos de tangencia con el vértice del cono son las líneas tangentes de los planos al cono y los dos planos tangentes eran determinados por las rectas x1-a g1-a.
Superficie de revolución formada por dos conos y dos esferas. En la esfera exterior sólida contiene un cono hueco que asimismo contiene una esfera sólida tangente al mismo y dentro de esta segunda esfera otro cono invertido respecto al anterior.Las dos esferas son sólidas mientras que los dos conos son huecos. Como el cono tiene su base tangente a la esfera, divide a la esfera en dos figuras.
La figura está formada por una esfera a la que se le ha restado un cilindro elíptico.
Un cubo es atravesado por dos conos cuyas bases son circunferencias tangentes a dos caras adyacentes del mismo. La intersección de los dos conos produce dos elipses, una elipse mayor X que es la que corresponde a la zona de interferencia de los dos conos y una elipse menor que está formada por dos partes, una correspondiente a la penetración de un cono en el otro y recíprocamente.En el alzado se puede ver como la intersección correspondiente a la elipse mayor viene dada por la bisectriz m de los lados a b del cubo. Los extremos V H del eje de la elipse menor G corresponden a la zona comprendida entre estos puntos, que son la intersección de las generatrices contorno del cono (s-LK para el punto V, por ejemplo).
La figura está formada por un cubo al que se le ha restado un cilindro en una dirección y un prisma en otra, ambas superficies radiadas tangentes en una generatriz.Un cubo o hexaedro regular es un poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
La figura está formada por la composición de dos cubos por lo que es un poliedro compuesto:
http://poliedroscompuestos.blogspot.com/
La figura está formada por la composición de dos cubos por lo que es un poliedro compuesto:http://poliedroscompuestos.blogspot.com/
Página de cortes en poliedros compuestos.
Un cubo al que se han redondeado sus vértices y aristas es atravesado por el centro de cada una de sus caras por tres cilindros del mismo diámetro.
Un objeto de revolución con su tapa muestra en el alzado un corte parcial imaginario por lo que su superficie cortada aparece con un rayado a 45° representado mediante líneas paralelas y equidistantes. Como el objeto y la tapa son elementos distintos el rayado debe también ser distinto pero siempre a 45°, para diferenciarlos se puede variar la dirección del rayado o bien variar la distancia entre las líneas paralelas de el rayado. Gracias al semicorte se facilita que se pueda ver en el alzado el interior de la pieza en la mitad de la misma y el exterior en la otra mitad.
En una semiesfera se ha practicado un hueco en forma de toro tangente a su superficie, por lo que la línea de contacto de ambas superficies aparece en la planta y es coincidente en el alzado con el contorno de la semiesfera, dividiendo a la semiesfera en dos partes.
Una esfera ha sido agujereada por otra esfera interior que se ha desplazado en una dirección diametral recta de la esfera, generando una superficie hueca en forma de cápsula.
En la representación perspectiva aparece la mitad de la figura mostrando el interior de la misma.
Esta figura está formada por la intersección de un cono y un toro. Al cono se le ha restado el toro generando el hueco que se puede percibir en la figura. La intersección se calcula de la manera usual: se pasan planos, por ejemplo horizontales, que corten a ambas figuras. La intersección de cada plano con las dos figuras nos determina dos curvas que en su intersección definen los puntos de intersección de las dos superficies.
Los planos horizontales cortan al cono según circunferencias, mientras que cortan al toro con curvas mucho más complejas, por lo que la resolución del ejercicio es algo complicada. Si cogemos planos ortogonales al eje de revolución del cono lo cortarán, por ser una superficie de revolución, según circunferencias paralelas de distinto diámetro y cortarán también al cono en curvas parabólicas, ya que el eje de revolución del toro es perpendicular a la generatriz del contorno del alzado del cono.
Esfera a la que se le ha quitado un prisma de base triangular.
Prisma al que se le ha restado otro prisma.
Un cubo al que se han redondeado sus vértices y aristas es atravesado por el centro de cada una de sus caras por tres cilindros del mismo diámetro.
Un objeto de revolución con su tapa muestra en el alzado un corte parcial imaginario por lo que su superficie cortada aparece con un rayado a 45° representado mediante líneas paralelas y equidistantes. Como el objeto y la tapa son elementos distintos el rayado debe también ser distinto pero siempre a 45°, para diferenciarlos se puede variar la dirección del rayado o bien variar la distancia entre las líneas paralelas de el rayado. Gracias al semicorte se facilita que se pueda ver en el alzado el interior de la pieza en la mitad de la misma y el exterior en la otra mitad.
En una semiesfera se ha practicado un hueco en forma de toro tangente a su superficie, por lo que la línea de contacto de ambas superficies aparece en la planta y es coincidente en el alzado con el contorno de la semiesfera, dividiendo a la semiesfera en dos partes.
Una esfera ha sido agujereada por otra esfera interior que se ha desplazado en una dirección diametral recta de la esfera, generando una superficie hueca en forma de cápsula.En la representación perspectiva aparece la mitad de la figura mostrando el interior de la misma.
Esta figura está formada por la intersección de un cono y un toro. Al cono se le ha restado el toro generando el hueco que se puede percibir en la figura. La intersección se calcula de la manera usual: se pasan planos, por ejemplo horizontales, que corten a ambas figuras. La intersección de cada plano con las dos figuras nos determina dos curvas que en su intersección definen los puntos de intersección de las dos superficies.Los planos horizontales cortan al cono según circunferencias, mientras que cortan al toro con curvas mucho más complejas, por lo que la resolución del ejercicio es algo complicada. Si cogemos planos ortogonales al eje de revolución del cono lo cortarán, por ser una superficie de revolución, según circunferencias paralelas de distinto diámetro y cortarán también al cono en curvas parabólicas, ya que el eje de revolución del toro es perpendicular a la generatriz del contorno del alzado del cono.
Esfera a la que se le ha quitado un prisma de base triangular.
Prisma al que se le ha restado otro prisma.
Un cubo al que se le ha restado por cada una de sus caras otro prisma cuyas aristas son tangentes a sus caras. La intersección de los prismas en las tres direcciones genera esta figura tan curiosa.
En la figura podemos observar un cubo al que se le ha restado un cilindro colocado de forma oblicua respecto al mismo.
En un cubo se han practicado dos huecos cilíndricos, uno que está en el interior de la figura y otro cuyo eje coincide con una arista del cubo.En la perspectiva se puede ver la intersección de los dos cilindros.
Un cubo es atravesado por un cilindro y un prisma, ambos tangentes al mismo. La intersección entre ambas figuras huecas provoca en el perfil arcos de circunferencia tangentes que son las proyecciones de las elipses de intersección de ambas superficies huecas.
Figura formada por un prisma de base triangular a la que se le ha restado porciones cilíndricas.
Esfera en la que se ha practicado un hueco interior formado por dos conos y un cilindro. En la proyección en perspectiva, los vértices de los conos coinciden con puntos de sus bases, de ahí que sólo aparezca representada una forma cilíndrica.
figura formada por un cilindro al que se le ha quitado otro cilindro.
la figura está formada por un cubo al que se le ha restado dos toros tangentes en sus circunferencias a las caras del mismo. Los toros tienen su centro en el punto medio de las aristas opuestas del cubo. Como las circunferencias de los toros son tangentes a las caras del cubo, lo son también en el desplazamiento a las caras adyacentes por lo que dividen al cubo en tres partes.
figura formada por un prisma que se le han restado tres cilindros y otro prisma.
figura formada por una esfera a la que se le ha quitado por la parte superior otra esfera, generando una superficie de color naranja, y por la parte inferior un cilindro y un prisma, provocando la superficie de color azul.
pieza industrial formada por enlaces de superficies cilíndricas y prismas, en el interior de la figura se han practicado varios huecos cilíndricos de diferente diámetro.
la figura está formado por la unión de dos pirámides. Tiene por contorno en planta, alzado y perfil, un triángulo equilátero, otro, y un cuadrado, respectivamente.
en el interior de una esfera se ha dibujado un pentágono regular y se han girado respecto a un diámetro de la misma. La superficie interior que genera se vacía provocando que la esfera tenga un hueco con forma de toro de sección pentagonal regular.
la figura está formada por un elipsoide,-figura formada por la rotación de una semielipse sobre su eje mayor en este caso-, al que se le ha restado un prisma pentagonal regular
figura formada por la intersección de prismas y cilindros.
en la figura podemos observarcorte AA por planos paralelosen el que sería variado su dirección para interceptar el hueco de la pieza. Igual que en los extremos del plano cortante se marcan líneas de mayor grosor, en el cambio de dirección del plano que corta la pieza también se hace lo mismo.
un cilindro al que se le han practicado cuatro huecos cilíndricos y otro prismático en su parte superior.
figura formada por un prisma al que se le han redondeado y torcido sus extremos.
en la figura se han practicado un hueco cilíndrico y otro prismático, en este último se ha practicado un agujero que se muestra en alzado en detalle mediante un corte parcial.
pieza industrial representada en sistema diédrico con una vista auxiliar y dos proyecciones ortogonales en perspectiva.
cilindro al que se ha restado un prisma y tres huecos cilíndricos, a parte de sus vistas diédricas se ha representado un corte del mismo y su representación en perspectiva.
en la figura tenemos una superficie de revolución engendrada por un trapecio que se ha girado en torno a un eje al que se le ha redondeado un borde inferior.En la cara superior de la superficie se han practicado mediante una matriz polar, cilindros concéntricos tangentes al contorno de las circunferencias de la corona circular.
figura formada por un prisma y la interferencia de varios cilindros.
Podemos observar un prisma hexagonal con un hueco esférico en cuyo eje central inciden tres prismas hexagonales en una disposición polar cuyas bases tienen sus vértices tangentes a las circunferencias huecas de las caras del prisma que genera la esfera interior.Podemos observar en la sección del plano vertical por los puntos BB la parte visible de la superficie esférica en color verde y los prismas en color morado y azul. El corte permite ver siempre lo que está detrás del plano de corte.
Figura compuesta por intersección de formas extrusionadas en forma de arcos equidistantes.
En la figura se puede observar una esfera hueca con tres cilindros huecos interiores con tres bases distintas. Podemos observar en detalle a una escala mayor, esta escala es la que corresponde a la pieza en la realidad, no al dibujo en la planta y en el alzado, esto quiere decir que el detalle es seis veces más grande en el dibujo que en la realidad. En el alzado de la figura se representa un corte de la misma coincidente con el eje de simetría horizontal de la pieza. Como este corte corresponde a un plano que pasa por el centro y coincide con un eje de simetría, no se indican los detalles normalizados del corte, ni las letras que pasan por el plano vertical de corte.
En la figura observamos un cono al que se le han restado otros dos conos, un cono hueco cuyo eje es perpendicular al cono mayor y otro cono cuyo eje es paralelo al mismo. La intersección del cono mayor con los otros dos genera dos curvas alabeadas, esto es, curvas cuyos puntos no pueden incidir todos sobre un plano.
En la figura observamos la importancia de los cortes a la hora de representar las piezas. El plano vertical que pasa por los puntos BB define con total precisión el corte del detalle en el que se pueden ver las circunferencias concéntricas de las superficies cilíndricas de la figura. Mientras que el plano horizontal determinado por los puntos AA, define con total precisión el ángulo que forma la dirección de los ejes de los cilindros respecto a la estructura de la pieza.
En la figura podemos observar una esfera con dos huecos cilíndricos y dos huecos prismáticos. Al mismo tiempo se le ha quitado un cuarto de la esfera, dejando ver con más claridad el interior de los cuatro huecos interiores comunicados.
En la figura podemos observar un hexaedro (figura formada por seis caras, en este caso dos pirámides unidas por la base) con dos huecos esféricos, uno de ellos intercepta dos caras y a la otra esfera. El otro hueco esférico intercepta a la esfera anterior cortándola según una circunferencia. La esfera intercepta además a cuatro caras de la figura, cortándolas según cuatro circunferencias.Es una pieza difícil de intuir, sobre todo en su proyección en el perfil, en el que una de las circunferencias que genera la esfera interior sobre una de las caras coincide con una de las caras que se transforma en una línea recta sobre esta proyección, de ahí que no se pueda ver la circunferencia ya que coincide con la cara en una misma línea.
La vista auxiliar A permite ver las circunferencias coincidentes que dejan ver el fondo en color blanco.
En la figura podemos observar la composición de una figura generada con cilindros prismas y conos.
prisma con dos huecos cilíndricos y sus intersecciones respectivas.
cilindro en el que se han practicado dos huecos, uno cilíndrico y otro prismático de base hexagonal.
prisma con dos huecos, uno cilíndrico en color azul y otro cónico en color amarillo, con su intersección respectiva.
hiperboloide reglado con un hueco prismático hexagonal y con su parte superior redondeada.
figura formada por enlace de prismas y cilindros.
prisma al que se le ha realizado una torsión de su cara superior generando superficies curvas en sus laterales con forma de paraboloides hiperbólicos.
en la figura podemos observar un poliedro al que se le ha restado una esfera. Como el centro de la esfera no pasa por el centro del poliedro sino que está desplazado, tenemos que corta a las caras en circunferencias mayores por uno de los lados.
porción de cilindro al que se le han restado dos prismas.
prisma formado por la unión de otros dos (en color azul y verde sus caras verticales), y que se ha cortado por dos planos oblicuos generando las caras de color amarillo y naranja.
cilindro en el que se han practicado dos huecos cilíndricos y otro prismático.
pieza en cuya representación en perspectiva se ha hecho un corte imaginario quitando un cuarto de la misma.
pieza constituida por la intersección de cuatro cilindros y un hueco prismático.
sólido prismático al que se le han empalmado vértices y aristas y en el que se ha practicado un hueco de media cápsula y otro cilíndrico.
prisma formado por la diferencia de dos huecos y su intersección respectiva, uno cilíndrico de color rosa y otro cónico de color amarillo.
elipsoide con un hueco esférico centrado en su interior.
cubo en el que se han practicado dos huecos con forma de prisma hexagonal.
prisma en el que se ha practicado un hueco de sección hexagonal regular.
prisma con un hueco cilíndrico y otro tórico de sección rectangular.
una esfera a la que se le han restado dos pirámides de base cuadrada, una invertida respecto a la otra.
una esfera a la que se le ha quitado otra esfera, un prisma y un cilindro.
esfera a la que se le ha quitado un octavo de la misma y varios cilindros y prismas.
esfera en la que se ha practicado un hueco con forma de prisma de base pentagonal. La intersección de las caras del prisma con la esfera son circunferencias.
esfera en la que se ha practicado un hueco en forma de cilindro elíptico.
esfera en la que se han practicado huecos con forma cilíndrica, esférica y tórica.
intersección de un prisma de base triangular y una esfera en la que se han practicado dos huecos, uno esférico y otro prismático.
pieza formada por una esfera a la que se le ha quitado un cuarto y en la que se ha practicado un hueco cilíndrico, otro cónico y otro tórico.
esfera a la que se le ha quitado varios trozos de la misma, así como varios prismas y cilindros.
esfera a la que se ha a restado un cubo interior, de manera que la zona de los vértices del cubo la atraviesan, dejando ver los ocho huecos correspondientes a la misma.
esfera a la que se han quitado cilindros y un prisma.
manera de mostrar el sistema diédrico la sección en el alzado de un detalle, y los detalles correspondientes a dos partes de la pieza A C. Las partes que se quieren resaltar se marcan con un círculo, se nombran y se dibujan a mayor escala en otra zona del papel indicando con una letra y entre paréntesis laescala que parte del dibujo se refieren.
Vistas diédricas de una pieza con su representación en axonometría y con el corte por el plano AA. En el corte sólo aparece representado lo que se ve detrás del plano de la sección tras girarlo 90° y proyectarlo en la dirección ortogonal al plano.
figura cuyas tres proyecciones en planta, alzado y perfil tienen forma de H.
prisma pentagonal en el que se han practicado dos huecos cilíndricos.
En la pieza se ha hecho uncorte con giro que pasa por los planos AA. Como estos planos son quebrados y la dirección del corte viene definida por la vertical (según vemos por la proyección ortogonal a este), a partir del punto donde se quiebra la línea por donde pasa el plano de corte -esto es, desde este punto hasta el final de la pieza, o sea, toda la zona horizontal- lo que aparece seccionado se gira hasta hacerlo coincidir con el plano vertical.
aquí observamos un cono en planta, alzado y perfil. En él se han practicado tres huecos materializados en tres nuevos conos.
en un prisma se han realizado dos huecos cilíndricos en una dirección y otro en otro.El resultado de ambas interferencias en planta es una figura con una forma aproximada entre circunferencia y cuadrado.
en un cubo se han practicado dos huecos cilíndricos tangentes en sus bases.
esta figura es el resultado de la interferencia entre un prisma pentagonal y un prisma triangular.
en un prisma se han practicado sobre sus aristas verticales cuatro huecos en forma de cono y por su eje un hueco cilíndrico.
una figura semejante a la anterior pero sin el hueco cilíndrico interno.
una figura formada por la intersección de dos cilindros dejando un hueco en el interior con forma de cilindro y prisma y con un nexo de unión entre los trozos que quedan.
En un prisma se ha practicado un hueco cónico que deja ver en su intersección vertical doscurvas hiperbólicas y en la horizontal una circunferencia.
a un cono se le han practicado hueco cónico y otro cilíndrico.
En un octaedro regular (dipirámide), que es un poliedro formado por dos pirámides unidas por sus bases y de caras triangulares equiláteras, se le ha restado una esfera interior cuyo centro coincide con el de la figura. Como todas las caras tienen la misma disposición respecto al centro tenemos que todas las secciones o huecos que produce la esfera son iguales. Observamos que la proyección auxiliar en los tres ejes o distancia entre vértices son iguales, el que corresponde a los vértices que se observan en la planta y el que corresponde a los vértices que comprende la línea vertical.
aquí tenemos otro octaedro regular con diferentes proyecciones al que se le ha restado un cilindro.
en un cubo se han practicado dos huecos, unos cilíndrico y otro prismático de sección pentagonal regular. En el alzado una sección meridiana proyecta las curvas elípticas de la interferencia de las dos superficies.
en un cubo se han practicado dos huecos en forma de prisma de base triangular por dos de sus caras.
pieza compuesta de prisma y cilindro con un hueco cilíndrico y otro prismático.
en una esfera se hace un cono de base tangente por uno de sus diámetros dividiendo a la misma en dos partes, la que aparece en verde y la amarilla. El hueco cónico perfora a la semiesfera amarilla dejando ver el interior del mismo en color rojo.
un prisma de base hexagonal es ahuecado por un cilindro ubicado en su interior de forma oblicua. En el dibujo tenemos proyecciones distintas y vistas auxiliares de la figura.
la figura está formada por la intersección de un cilindro y un prisma de base triangular. Por el eje de la figura se ha practicado otro hueco con forma de cono.
La figura es una esfera a la que se le han restado tres piezas: un prisma interno, un cilindro interno que es tangente a las caras del prisma y un prisma que atraviesa la esfera quitándole un cuarto de la misma.
En la pieza observamos laacotación siguiendo la norma UNE. Como principios básicos de la acotación tenemos que por ser la pieza simétrica se determinan primero los ejes de simetría que aparecen definidos por segmentos alternos cortos y largos.Una vez que hemos colocado los ejes marcamos la distancia entre los mismos. A continuación ponemos la cota de las circunferencias y de los arcos de la figura. Si no se marca el centro aparece el símbolo de diámetro, si el arco es mayor de 180° se acota como diámetro si es menor o igual se hace como radio. Para acotar el radio se pone la letra R si la línea de cota no pasa por el centro.
En la figura observamos un prisma al que se le practicaron dos huecos cilíndricos, uno de ellos enlazado con un trozo de esfera tangente. La intersección de ambos cilindros viene determinada por las generatrices comunes y por la curva alabeada intersección de la esfera y cilindro que enlaza ambas. La curva alabeada se determina por la curva de intersección del plano que corta a la esfera y el que corta al cilindro. Cada plano determina un punto de la curva alabeada.
En la figura observamos un toro sin agujero, esto es, la figura engendrada por una circunferencia que gira en torno a una secante no incidente en su centro. En el interior del toro se ha practicado un hueco prismático hasta la mitad de la figura, a partir de la mitad de la figura se toma la mitad del rombo que es la base del prisma y se gira en torno a uno de los ejes del rombo generando una superficie de revolución hueca en el interior de la figura y que pasa por la base del prisma hacia abajo.
Cubo al que se restado un prisma hueco en su interior.
Cilindro en el que se ha practicado un hueco cilíndrico en su interior. Como podemos observar los cilindros son tangentes en sus generatrices, ello provoca en el perfil un hueco en forma de pajarita.
Un cubo es atravesado por dos cilindros huecos y por un prisma sólido oblicuo sólido dentro de él.
Aquí observamos en amarillo una llave con sus tres proyecciones diédricas, planta, alzado y perfil. A su derecha tenemos una proyección oblicua de la llave en planta con sus proyecciones correspondientes correlativas.Una proyección cualquiera de estas últimas podría ser una representación axonométrica, ya que ésta es una proyección cilíndrica ortogonal sobre el plano, al igual que lo es el sistema diédrico. Por ello una de las cuestiones importantes en diédrico es que debemos utilizar para las proyecciones de la pieza vistas que sean representativas de sus dimensiones y que muestren sus caras en verdadera forma en la mayor medida de lo posible.
En la figura podemos observar las vistas diédricas de una pieza. A la derecha de la misma tenemos tres proyecciones axonométricas de la misma. En los planos de objetos y piezas industriales interesa utilizar una perspectiva para que se visualice mejor la pieza. Esta perspectiva conviene que sea una axonométrica ya que es una perspectiva en la que las paralelas se mantienen, esto quiere decir que si la pieza tiene aristas paralelas en el dibujo axonométrico persisten.
en la figura podemos observar una esfera en la que se han practicado dos huecos, uno formado por un cilindro vertical y otro formado por la composición de dos conos con la misma base.
en la figura podemos observar una esfera a la que se han restado tres cilindros ortogonales.
Figura formada por prismas enlazados con arcos que generan en su extrusión superficies de revolución de sección rectangular.
En la figura observamos la unión de seis conos con un prisma de base hexagonal.
Las superficies de los conos son tangentes a las caras verticales del prisma por la parte superior mientras que por la parte inferior cortan a la base del prisma según hipérbolas.
Los conos interiores tangentes en sus generatrices están representados en color azul por la parte superior y en color verde por la parte inferior mientras que los exteriores aparecen de color amarillo por la parte superior y en color naranja por la inferior.
prisma con huecos generados por la intersección de tres cilindros.
en una esfera se han practicado seis huecos esféricos que se interceptan entre sí.
en la esfera se han practicado los seis huecos de la figura anterior, se han practicado otros seis huecos simétricos respecto a un plano meridiano de la esfera y en el interior de la misma se ha practicado otro hueco esférico que al mismo tiempo intercepta a las 12 esferas.
En la figura observamos un cilindro que es atravesado por otro cilindro, generando como intersección de las dos superficies dos elipses y cuatro piezas idénticas.La vista auxiliar proyectada en la dirección A transforma una de las elipses en una recta y la otra la mantiene invariable, por ser coincidente la elipse con el plano de proyección.
Figura formada por un cubo al que se le ha practicado un hueco en forma de cubo.
Dentro del hueco contiene una media esfera centrada.
La figura está formada por la unión de un prisma y un cilindro en la que se ha practicado un hueco prismático.
figura formada por un cilindro atravesado por dos cilindros ortogonales horizontales, por un prisma cuyo eje pasa por el de la figura y por un cono en la base del cilindro en el que se practica un hueco con forma de pirámide.
en una figura formada por un prisma y un cilindro se practican tres huecos generados por distintos conos.
una figura contiene dos toros interiores que empiezan siendo huecos por su exterior y luego se convierten en sólidos.
un prisma es atravesado por varios cilindros provocando esta forma irregular.
aquí tenemos otro prisma atravesado también por varios cilindros en direcciones ortogonales.
una pieza muestra sus vistas diédricas y un alzado con una sección a un cuarto imaginaria.
en la figura se observa un objeto formado por la intersección de un cono y un prisma. La intersección de las caras del prisma con la superficie cónica provoca dos hipérbolas, curvas que determinan al unirlas una superficie llamada cilindro hiperbólico. Al cono se le ha restado el cilindro hiperbólico sólido anterior provocando la figura que se observa en la representación.
en la figura observamos un cono al que se le ha restado un cilindro en cuyo extremo se apoya una semiesfera. Como el cilindro es tangente a la base una generatriz es coincidente con él, por lo que aparece de forma continua. La esfera es tangente al cono por lo que la circunferencia de intersección o contacto entre ellas separa al cono en dos partes, la azul y la amarilla.
en el prisma se han practicado tres huecos cilíndricos, dos concéntricos que pasan por los vértices y otro que pasa por los puntos medios de dos aristas opuestas.
prisma al que se le han restado varios cilindros.
una esfera contiene en su interior dos pirámides huecas unidas por sus bases. En cada uno de los lados o caras de las pirámides se han levantado prismas huecos hasta el exterior. La figura es por tanto una esfera con seis prismas huecos de sección triangular dirigidos hacia el centro de la misma.
en una esfera se han practicado tres huecos, uno prismático y otros dos cilíndricos concéntricos.
un cono al que se le ha restado una pirámide de base hexagonal regular.
la figura está generada por la intersección de dos prismas ortogonales de base triangular, uno en la dirección de planta y otro en la dirección del alzado, de ahí que sus dos proyecciones en planta y alzado sean triángulos equiláteros. A continuación se le ha practicado un hueco cilíndrico en la dirección vertical, lo que provoca que se vea en el perfil una curva elíptica.
En la figura observamos una pieza compuesta por un cilindro hueco, roscado en su interior y una esfera unida al cilindro. La representación en alzado muestra un corte imaginario de la pieza como si se le hubiera quitado un cuarto.
la figura está compuesta por tres piezas: una esfera de color amarilla en el centro con un hueco cilíndrico interior cuyo eje pasa por el centro de la misma y en cuyas bases del cilindro aparecen apoyados dos casquetes esféricos de color rojo y azul respectivamente.
la figura está compuesta por la intersección de dos cilindros sólidos y otra intersección interna de dos cilindros huecos.
La pieza está formada por un cilindro al que se le ha restado en su interior cuatro trozos de esferas que suman entre sí 180°. La intersección con los trozos de esferas produce en las bases del cilindro sectores circulares cuyo ángulo es de 45° y en la superficie cilíndrica rectángulos adecuados a la misma. Las paredes internas planas aparecen de color azul mientras que las esféricas de color naranja.
la figura está formada por un toro (figura en forma de donuts) al que se le ha restado un cilindro tangente a la superficie y a la circunferencia del perfil en su base.
la figura está formada por la intersección de un cilindro con seis toros que están dispuestos en una matriz polar. La intersección del cilindro y los toros provoca las "circunferencias" deformadas alabeadas azules mientras que las superficies de los toros aparecen en color amarillo.
la figura muestra una esfera a la que se le ha restado un prisma interior. El prisma corta a la esfera según planos que son circunferencias. En la proyección en planta observamos que la base del prisma es un cuadrado. Si todas las proyecciones fueron cuadradas las circunferencias estarían unidas entre sí por un único punto, con lo cual la figura se descompondría en tantos casquetes esféricos como lados tiene el cubo. Como observamos en la vista auxiliar, la altura distinta de la base provoca que no sea un cuadrado perfecto, con lo que la superficie esférica enlaza los casquetes por una región mayor que por un punto, de ahí que sea una sola pieza y no varias.
una elipse en la revolución de su eje menor provoca un elipsoide. En él se practican varios huecos, uno cilíndrico y los otros cónicos y cilíndricos correspondientes al interior amarillo.Teorema de Monge
Si a 3 circunferencias se le hacen las tangentes comunes 2 a 2, los 3 puntos de intersección de cada par de tangentes están alineados. El teorema es válido para las tengentes exteriores e interiores, indistintamente y combinadas.
Una aplicación la tenemos en el siguiente ejercicio generalizado el teorema anterior en el espacio.
Dadas 3 esferas determinar las trazas del plano que se apoya en ellas.
Hacemos los 3 conos tangentes a ambas -como cucuruchos que contienen bolas de helado-, y en los 3 vértices de los conos está la traza del plano. Hacemos una posible proyección en alzado con la LT perpendicular a la traza horizontal para facilitar el ejercicio y la traza vertical la pasamos tangente a los alzados de las esferas. En los puntos de tangencia se apoya el plano, detalle que se puede bajar a la planta.
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-monge.html
Desarrollo de una superficie.
El desarrollo de una superficie es la figura plana obtenida al extenderla sobre un plano. Es como si una figura estuviera envuelta por un material fino en su superficie que se abriera a lo largo de las aristas. Al ir abriendo cada una de sus caras las doblaríamos hasta situarlas en un plano del dibujo, quedando extendido el envoltorio de la figura sobre el plano.
Al desarrollar la figura sobre un plano se obtiene el verdadero tamaño y forma de las caras.
Para construir el desarrollo de una pirámide, hacemos un giro de sus caras tomando como eje de giro la arista del plano t2 correspondiente a la base. Para hacer el giro proyectamos el vértice de la pirámide O sobre el plano horizontal y desde este punto O’ hacemos una recta perpendicular m2 a la traza del plano t2 correspondiente a la cara. Haciendo centro en el punto Z2 de intersección de esta perpendicular con la traza del plano, hacemos un giro tomando como radio la distancia desde el centro Z2 hasta el vértice de la pirámide O. El arco correspondiente al giro de vértice O determina en la intersección con la perpendicular m2 a t2 el vértice abatido (O2), que unido a los extremos de la traza de la cara t2 constituye la cara abatida de la pirámide (en el dibujo aparece en color rojo).Las tres caras abatidas junto con la base de la figura determinan la figura extendida sobre el plano, en geometría se llama el desarrollo de la misma. Podemos doblar los triángulos rojos por los lados que tocan a la base de la figura (t1 t2 t3) y se construye así la pirámide en tres dimensiones.
En el dibujo vemos el ejercicio resuelto en el sistema diédrico. Para hacer el abatimiento de las caras, tomamos una de ellas, por ejemplo aquella cara cuyo plano corta al horizontal según la recta t2. Haciendo desde el vértice de la pirámide una perpendicular a esta recta m2 y tomando el punto de intersección de ambas Z2, hacemos centro en él con la distancia desde ese punto Z2 hasta el vértice de la pirámide abatida O2’. Para hacer el abatimiento de ese triángulo que está en un plano vertical tomamos la altura del vértice de la pirámide h que está en el alzado en verdadera magnitud y la colocamos a partir del vértice en planta O ortogonalmente a la recta m2. De esta manera obtenemos el vértice de la pirámide abatido O2’ y la pendiente de la cara, definida por los puntos Z2-O’2.A continuación haciendo centro como habíamos dicho en la intersección de la perpendicular a la traza de la cara, en Z2, hacemos el arco con el radio Z2-O’2 y donde corte este arco a la prolongación de la perpendicular m2 tenemos el vértice de la pirámide abatida (O2) y por tanto el abatimiento de esta cara, ya que los otros: al estar en el eje del giro, permanecen inalterables. Este punto se une con los extremos de t2 y tenemos toda la cara abatida.
Para abatir las otras dos caras procedemos de igual forma. Las tres caras triangulares abatidas (en color rojo) junto con la base de la figura (en color amarillo) definen el desarrollo de la pirámide oblicua, con lo que se podría recortar el contorno y doblar por la intersección de cada triángulo rojo con el amarillo, obteniendo de esta manera la figura construida, por ejemplo en papel.
Tipos de desarrollos:
Se puede desarrollar mediante líneas que pasan por un centro, también llamadas radiadas.
Una figura se puede desarrollar mediante líneas paralelas como pasa con las superficies radiadas de vértice impropio: los prismas y cilindros. Este desarrollo corresponde a superficies radiadas de punto impropio como son las pirámides y los conos.
Mediante triangulaciones, esto se obtiene al dividir las caras de la superficie en formas triangulares.
Desarrollos aproximados, son los que se utilizan para las superficies alabeadas y de doble curvatura, superficies que no se pueden desarrollar pero que se pueden obtener formas aproximadas de su extensión sobre el plano.
Páginas de figuras en sistema diédrico:
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Incidencia
Incidir quiere decir estar en, pertenecer a, estar incluido en…, se utiliza mejor que estos vocablos por ser más genérico, ya que puede formularse una recta incide en un punto o un punto incide en una recta, pero no se puede decir una recta está incluida en un punto.
Una recta pertenece a un plano o incide en él si sus trazas están sobre las trazas del plano.
Un punto pertenece a un plano si está sobre una recta del plano.
Un punto pertenece a una recta si las proyecciones del mismo están sobre las proyecciones de la recta.
En los tres casos la recíproca es cierta, pudiendo eliminar las excepciones si utilizamos los 3 planos de proyección (planta, alzado y perfil).
La recta a pertenece al plano por tener sus trazas sobre las trazas del plano.
En diédrico: la recta r tiene sus trazas sobre las trazas del plano y al mismo tiempo es una recta de máxima pendiente del plano alfa por tener su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano.
La recta de máxima pendiente es la que describiría un objeto que cayera por el plano, siguiendo la distancia más corta.
Tenemos otra recta incidente en el plano pero de máxima inclinación por tener su proyección vertical perpendicular a la traza vertical del plano. Como la perpendicular a la traza vertical es la distancia más corta a la recta, en la práctica una recta de máxima inclinación sería la trayectoria de un móvil que se desplaza por el tejado (por el plano oblicuo) y que buscara al mismo tiempo la distancia más corta hacia el plano vertical.
Si dos rectas se cortan determinan un plano, por lo que las trazas verticales de ambas pertenecen a la traza vertical del plano y las horizontales a la horizontal del plano.
Como las rectas se cortan en un punto común y las proyecciones de un punto siempre quedan en una vertical, las rectas se cortan en un punto cuyas proyecciones P1 P2 están alineadas en la vertical.
Como las trazas de una recta que pertenece a un plano están en las trazas de éste, tenemos que la traza horizontal de la recta frontal Hr está sobre la traza horizontal del plano y la traza vertical de recta y plano inciden ya que por ser paralelas se cortan en el mismo punto, el del infinito.
Si consideramos ahora el plano de planta como en el alzado y éste como el de planta, la recta anterior se transforma en horizontal. La recta horizontal r pertenece al plano y el punto A a la recta r por tener su proyecciones sobre las de la recta. El punto pertenece también al plano por estar contenido en una recta del mismo.
Si una recta y plano inciden y la recta tiene su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano, la proyección vertical de la recta es horizontal ya que si el plano es cortado por el plano horizontal de proyección según una dirección, un plano que seccionara al horizontal por la recta r provocaría las mismas direcciones en las secciones que el anterior: en planta una paralela a la traza y en alzado una paralela a la línea de tierra (según el teorema de que planos paralelos producen secciones paralelas).
Un punto P perteneciente a un plano que pasa por la línea de tierra. Las proyecciones en planta y alzado del punto no serían suficientes para determinar si pertenece al plano, para ello se hace necesario dibujar el perfil del plano e incidir P’’’ sobre el mismo.
Los próximos 4 ejercicios son rectas oblicuas incidentes en los siguientes planos: de canto o proyectante vertical, paralelo a la línea de tierra, oblicuo y vertical.
Los ejercicios anteriores resueltos en sistema diédrico con las trazas de las rectas en las trazas de los planos respectivos.
Aquí tenemos distintos planos con rectas incidentes en los mismos:
o- oblicua, h- horizontal, p- de perfil, t- que pasa por la línea de tierra, f- frontal, a- paralela a la línea de tierra, u- de punta, v- vertical.
Aquí podemos observar el mismo dibujo en sus proyecciones diédricas en planta y alzado.
Dados dos puntos B A que están situados en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente, determinar las proyecciones de la recta que pasa por los dos puntos. Los puntos tienen por proyecciones B1 B2 A1 A2, se unen las proyecciones del punto del plano horizontal entre sí A1 B1 y de igual forma las del plano vertical A2 B2 así obtenemos las dos proyecciones de la recta, que son m1 m2.
Donde la proyección horizontal m1 corta a la línea de tierra, levantamos una vertical y obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
Donde la proyección vertical corta a la línea de tierra, hacemos una recta de punta por ese punto hasta que corte a la proyección horizontal de la recta, obteniendo así la traza horizontal de la misma, que es Hm.
Tenemos que la recta m es una recta oblicua que pasa por los puntos dados que están en otro cuadrante distinto y cuyo tramo visible en el primer cuadrante es el que está comprendido entre sus trazas.
Aquí observamos el ejercicio en sistema diédrico, hemos unido las proyecciones horizontales entre sí A1 B1 y donde corta a la línea de tierra hacemos una vertical. En la intersección de esta vertical con el segmento que une los dos puntos correspondientes a la proyección vertical A2 B2, tenemos la traza vertical de la recta, Vm.
De igual forma la proyección vertical de la recta m2 corta a la línea de tierra en un punto por el que bajamos una vertical y donde ésta corta a la proyección horizontal m1 tenemos la traza de la recta Hm.
En este caso tenemos la representación espacial de una recta oblicua definida por un punto del primer cuadrante A y otro del tercero B. Operamos de la misma forma que en el ejercicio anterior, unimos las proyecciones horizontales A1 B1 y donde corte a la línea de tierra hacemos una vertical, en la intersección de esta vertical con la proyección vertical de la recta obtenemos la traza vertical de la misma Vm.
Análogamente unimos las proyecciones verticales de los puntos y donde corta el segmento de unión de ambos a la línea de tierra hacemos una recta perpendicular a la misma y que esté en el plano horizontal. Esta recta corta a la proyección horizontal en la traza horizontal de la recta Hm.
El ejercicio resuelto en sistema diédrico: los puntos dados de la proyección horizontal A1 B1 se unen hasta que cortan a la línea de tierra en un punto, por éste se hace una recta vertical hasta que corte a la recta que une los dos puntos A2 B2, que es la proyección vertical de la recta. En la intersección de la proyección vertical de la recta m2 con esta vertical obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
De igual forma unimos A2 B2 de la proyección vertical y donde esta recta corte a la línea de tierra hacemos una recta vertical que corta a la proyección horizontal en un punto Hm que es la traza horizontal de la recta. Observamos en esta recta en el ejercicio resuelto en el espacio que sólo tiene su tramo continuo en el primer cuadrante en la porción comprendida entre la traza vertical Vm y el punto A.
Dados dos puntos que están situados en el segundo y cuarto cuadrante, se pide determinar las proyecciones de la recta que pasa por estos dos puntos.
Procedemos como en los ejercicios anteriores, unimos las proyecciones de los puntos del plano horizontal A1 B1 hasta que corten a la línea de tierra en un punto por el que hacemos una vertical, donde esta corte a la proyección vertical de la recta tenemos la traza vertical de la recta Vm. Operamos de igual forma para obtener la traza horizontal de la recta Hm.
Como esta recta pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante, tenemos que ninguna de sus dos proyecciones, horizontal y vertical, son percibidas o vistas directamente en el primer cuadrante, de ahí que sus dos proyecciones deben aparecer discontinuas.
El ejercicio de antes resuelto en el sistema diédrico, se han unido los dos puntos, por un lado las dos proyecciones horizontales de los dos puntos A1 B1y por otro lado las dos proyecciones verticales A2 B2 de los dos puntos. Al unir estas proyecciones tenemos las dos proyecciones de la recta m1 m2 que cortan a la línea de tierra en dos puntos por los que hacemos verticales. Éstas verticales por cada una de las proyecciones de la recta (m2), cortan a la otra proyección (m1) determinando las trazas de la recta Hm.
Para determinar las partes que son visibles de la recta es imprescindible su representación espacial, ya que si bien en el ejercicio resuelto es fácil seguir el proceso deductivo extrapolable por otros ejercicios también del sistema diédrico, la representación de la recta en el espacio nos determina qué parte está en cada cuadrante.
Dada una recta a (en el dibujo de color rojo) en el primer cuadrante definida por sus proyecciones y un punto exterior M situado en el segundo cuadrante, determinar el plano que pasa por ambos elementos.
Se une la traza vertical de la recta Va con el punto dado M y donde la prolongación de esta recta de unión corta al plano horizontal tenemos un punto R de la traza del plano, que unido con la traza horizontal de la recta Ha determina la traza horizontal del plano TR que contiene al punto y a la recta dados.
Donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra -en el punto R-, tenemos que por este punto pasa la traza vertical del plano. Sólo hay que unir el punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos la traza vertical del plano Va-R.
El procedimiento se basa en que dos rectas determinan un plano cuando se cortan, por lo que se trazó una recta que cortara a la recta dada y al mismo tiempo pasara por el punto dado M.
El ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico.
Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2 y el punto del segundo cuadrante M con sus dos proyecciones M1 M2, unimos la proyección vertical del punto M2 con la traza vertical de la recta Va y obtenemos en la prolongación de esta línea un punto de intersección con la línea de tierra por el que trazamos una vertical z.
Por la traza vertical de la recta Va hacemos una vertical hasta que corta en la línea de tierra en el punto P. Éste punto lo unimos con la proyección horizontal. del punto dado M1 hasta que corta a las recta vertical z en el punto T.
Unimos el punto T con la traza horizontal de la recta Ha teniendo un nuevo punto de intersección con la línea de tierra R. Unimos este punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos ya la traza vertical del plano Va-R.
Se puede utilizar otro plano de proyección para dar más información sobre el objeto a representar. Este plano se llama de perfil y es perpendicular a la línea de tierra, que es la intersección del plano de la planta y del alzado (en magenta).
Observamos la división en cuatro cuadrantes (del 1º al 4º) que generan los planos de planta y alzado.
Los tres planos de proyección dividen el espacio en 8 partes.
La representación de un punto en sistema diédrico viene dada por sus proyecciones ortogonales sobre los tres planos: un punto P se transforma en sus 3 proyecciones P1 P2 P3.
A continuación los planos se abren hasta que queden todos coplanares: giramos el plano de perfil 90º respecto al vertical y una vez que queda en el mismo plano que éste, g
Así quedan las vistas diédricas de un punto: la planta, alzado y perfil son siempre correlativas.
Planos
Un plano se representa por la intersección con los planos de proyección, a estas intersecciones se les llama trazas. El plano rojo a corta a los planos de proyección según las trazas a1 (traza horizontal) a2 (traza vertical) a3 (traza de perfil).
Teorema para todos los planos: las trazas de un plano siempre se cortan en un mismo punto sobre la línea de tierra. (Pues una recta –LT- corta a un plano en un punto, si lo hace en dos o más es que está contenida en él, en este caso las trazas coinciden en todos sus puntos sobre la LT, se dice que el plano pasa por la LT).
Un plano oblicuo c tiene sus trazas oblicuas (nunca ortogonales) respecto a la línea de tierra.
Otro tipo de plano oblicuo.
Planos bisectores el primer bisector 1b y segundo 2b, bisecan al plano horizontal y vertical.
Plano de canto o proyectante vertical: tiene la traza vertical a2 oblicua y la horizontal a1 ortogonal a la LT.
El plano de perfil tiene sus dos trazas perpendiculares a la línea de tierra.
Una recta pertenece a un plano o incide en él si sus trazas están sobre las trazas del plano.
Un punto pertenece a un plano si está sobre una recta del plano.
Un punto pertenece a una recta si las proyecciones del mismo están sobre las proyecciones de la recta.
En los tres casos la recíproca es cierta, pudiendo eliminar las excepciones si utilizamos los 3 planos de proyección (planta, alzado y perfil).
La recta a pertenece al plano por tener sus trazas sobre las trazas del plano.
En diédrico: la recta r tiene sus trazas sobre las trazas del plano y al mismo tiempo es una recta de máxima pendiente del plano alfa por tener su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano.
La recta de máxima pendiente es la que describiría un objeto que cayera por el plano, siguiendo la distancia más corta.
Tenemos otra recta incidente en el plano pero de máxima inclinación por tener su proyección vertical perpendicular a la traza vertical del plano. Como la perpendicular a la traza vertical es la distancia más corta a la recta, en la práctica una recta de máxima inclinación sería la trayectoria de un móvil que se desplaza por el tejado (por el plano oblicuo) y que buscara al mismo tiempo la distancia más corta hacia el plano vertical.
Si dos rectas se cortan determinan un plano, por lo que las trazas verticales de ambas pertenecen a la traza vertical del plano y las horizontales a la horizontal del plano.
Como las rectas se cortan en un punto común y las proyecciones de un punto siempre quedan en una vertical, las rectas se cortan en un punto cuyas proyecciones P1 P2 están alineadas en la vertical.
Como las trazas de una recta que pertenece a un plano están en las trazas de éste, tenemos que la traza horizontal de la recta frontal Hr está sobre la traza horizontal del plano y la traza vertical de recta y plano inciden ya que por ser paralelas se cortan en el mismo punto, el del infinito.
Si consideramos ahora el plano de planta como en el alzado y éste como el de planta, la recta anterior se transforma en horizontal. La recta horizontal r pertenece al plano y el punto A a la recta r por tener su proyecciones sobre las de la recta. El punto pertenece también al plano por estar contenido en una recta del mismo.
Si una recta y plano inciden y la recta tiene su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano, la proyección vertical de la recta es horizontal ya que si el plano es cortado por el plano horizontal de proyección según una dirección, un plano que seccionara al horizontal por la recta r provocaría las mismas direcciones en las secciones que el anterior: en planta una paralela a la traza y en alzado una paralela a la línea de tierra (según el teorema de que planos paralelos producen secciones paralelas).
Un punto P perteneciente a un plano que pasa por la línea de tierra. Las proyecciones en planta y alzado del punto no serían suficientes para determinar si pertenece al plano, para ello se hace necesario dibujar el perfil del plano e incidir P’’’ sobre el mismo.
Los próximos 4 ejercicios son rectas oblicuas incidentes en los siguientes planos: de canto o proyectante vertical, paralelo a la línea de tierra, oblicuo y vertical.
Los ejercicios anteriores resueltos en sistema diédrico con las trazas de las rectas en las trazas de los planos respectivos.
Aquí tenemos distintos planos con rectas incidentes en los mismos:
o- oblicua, h- horizontal, p- de perfil, t- que pasa por la línea de tierra, f- frontal, a- paralela a la línea de tierra, u- de punta, v- vertical.
Aquí podemos observar el mismo dibujo en sus proyecciones diédricas en planta y alzado.
Dados dos puntos B A que están situados en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente, determinar las proyecciones de la recta que pasa por los dos puntos. Los puntos tienen por proyecciones B1 B2 A1 A2, se unen las proyecciones del punto del plano horizontal entre sí A1 B1 y de igual forma las del plano vertical A2 B2 así obtenemos las dos proyecciones de la recta, que son m1 m2.Donde la proyección horizontal m1 corta a la línea de tierra, levantamos una vertical y obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
Donde la proyección vertical corta a la línea de tierra, hacemos una recta de punta por ese punto hasta que corte a la proyección horizontal de la recta, obteniendo así la traza horizontal de la misma, que es Hm.
Tenemos que la recta m es una recta oblicua que pasa por los puntos dados que están en otro cuadrante distinto y cuyo tramo visible en el primer cuadrante es el que está comprendido entre sus trazas.
Aquí observamos el ejercicio en sistema diédrico, hemos unido las proyecciones horizontales entre sí A1 B1 y donde corta a la línea de tierra hacemos una vertical. En la intersección de esta vertical con el segmento que une los dos puntos correspondientes a la proyección vertical A2 B2, tenemos la traza vertical de la recta, Vm.De igual forma la proyección vertical de la recta m2 corta a la línea de tierra en un punto por el que bajamos una vertical y donde ésta corta a la proyección horizontal m1 tenemos la traza de la recta Hm.
En este caso tenemos la representación espacial de una recta oblicua definida por un punto del primer cuadrante A y otro del tercero B. Operamos de la misma forma que en el ejercicio anterior, unimos las proyecciones horizontales A1 B1 y donde corte a la línea de tierra hacemos una vertical, en la intersección de esta vertical con la proyección vertical de la recta obtenemos la traza vertical de la misma Vm.Análogamente unimos las proyecciones verticales de los puntos y donde corta el segmento de unión de ambos a la línea de tierra hacemos una recta perpendicular a la misma y que esté en el plano horizontal. Esta recta corta a la proyección horizontal en la traza horizontal de la recta Hm.
El ejercicio resuelto en sistema diédrico: los puntos dados de la proyección horizontal A1 B1 se unen hasta que cortan a la línea de tierra en un punto, por éste se hace una recta vertical hasta que corte a la recta que une los dos puntos A2 B2, que es la proyección vertical de la recta. En la intersección de la proyección vertical de la recta m2 con esta vertical obtenemos la traza vertical de la recta Vm.
De igual forma unimos A2 B2 de la proyección vertical y donde esta recta corte a la línea de tierra hacemos una recta vertical que corta a la proyección horizontal en un punto Hm que es la traza horizontal de la recta. Observamos en esta recta en el ejercicio resuelto en el espacio que sólo tiene su tramo continuo en el primer cuadrante en la porción comprendida entre la traza vertical Vm y el punto A.
Dados dos puntos que están situados en el segundo y cuarto cuadrante, se pide determinar las proyecciones de la recta que pasa por estos dos puntos.Procedemos como en los ejercicios anteriores, unimos las proyecciones de los puntos del plano horizontal A1 B1 hasta que corten a la línea de tierra en un punto por el que hacemos una vertical, donde esta corte a la proyección vertical de la recta tenemos la traza vertical de la recta Vm. Operamos de igual forma para obtener la traza horizontal de la recta Hm.
Como esta recta pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante, tenemos que ninguna de sus dos proyecciones, horizontal y vertical, son percibidas o vistas directamente en el primer cuadrante, de ahí que sus dos proyecciones deben aparecer discontinuas.
El ejercicio de antes resuelto en el sistema diédrico, se han unido los dos puntos, por un lado las dos proyecciones horizontales de los dos puntos A1 B1y por otro lado las dos proyecciones verticales A2 B2 de los dos puntos. Al unir estas proyecciones tenemos las dos proyecciones de la recta m1 m2 que cortan a la línea de tierra en dos puntos por los que hacemos verticales. Éstas verticales por cada una de las proyecciones de la recta (m2), cortan a la otra proyección (m1) determinando las trazas de la recta Hm.
Para determinar las partes que son visibles de la recta es imprescindible su representación espacial, ya que si bien en el ejercicio resuelto es fácil seguir el proceso deductivo extrapolable por otros ejercicios también del sistema diédrico, la representación de la recta en el espacio nos determina qué parte está en cada cuadrante.
Dada una recta a (en el dibujo de color rojo) en el primer cuadrante definida por sus proyecciones y un punto exterior M situado en el segundo cuadrante, determinar el plano que pasa por ambos elementos.Se une la traza vertical de la recta Va con el punto dado M y donde la prolongación de esta recta de unión corta al plano horizontal tenemos un punto R de la traza del plano, que unido con la traza horizontal de la recta Ha determina la traza horizontal del plano TR que contiene al punto y a la recta dados.
Donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra -en el punto R-, tenemos que por este punto pasa la traza vertical del plano. Sólo hay que unir el punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos la traza vertical del plano Va-R.
El procedimiento se basa en que dos rectas determinan un plano cuando se cortan, por lo que se trazó una recta que cortara a la recta dada y al mismo tiempo pasara por el punto dado M.
El ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico.Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2 y el punto del segundo cuadrante M con sus dos proyecciones M1 M2, unimos la proyección vertical del punto M2 con la traza vertical de la recta Va y obtenemos en la prolongación de esta línea un punto de intersección con la línea de tierra por el que trazamos una vertical z.
Por la traza vertical de la recta Va hacemos una vertical hasta que corta en la línea de tierra en el punto P. Éste punto lo unimos con la proyección horizontal. del punto dado M1 hasta que corta a las recta vertical z en el punto T.
Unimos el punto T con la traza horizontal de la recta Ha teniendo un nuevo punto de intersección con la línea de tierra R. Unimos este punto R con la traza vertical de la recta Va y tenemos ya la traza vertical del plano Va-R.
Elementos: punto, recta y plano.
En la figura observamos los dos planos que se cortan ortogonalmente y sobre los que se proyectan los objetos, el de planta (horizontal) y el del alzado (vertical). Los dos planos dividen el espacio en cuatro partes: el primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Se puede utilizar otro plano de proyección para dar más información sobre el objeto a representar. Este plano se llama de perfil y es perpendicular a la línea de tierra, que es la intersección del plano de la planta y del alzado (en magenta).
Observamos la división en cuatro cuadrantes (del 1º al 4º) que generan los planos de planta y alzado.
Los tres planos de proyección dividen el espacio en 8 partes.
La representación de un punto en sistema diédrico viene dada por sus proyecciones ortogonales sobre los tres planos: un punto P se transforma en sus 3 proyecciones P1 P2 P3.
A continuación los planos se abren hasta que queden todos coplanares: giramos el plano de perfil 90º respecto al vertical y una vez que queda en el mismo plano que éste, g
iramos el vertical (y de perfil, que ya forman un mismo plano) 90º respecto al horizontal, con lo que tenemos los 3 planos coincidentes con el papel en que lo representamos. Del giro de los planos se desprende que las proyecciones del punto siempre están alineadas en perpendiculares respecto a la línea de intersección de cada par de planos. Todo lo que forma parte del espacio: el punto P, sus líneas de proyección (de P a P1, de P a P2, etc.), desaparece. En diédrico sólo se representa lo que queda proyectado sobre los 3 planos de proyección.
Así quedan las vistas diédricas de un punto: la planta, alzado y perfil son siempre correlativas.
Planos
Un plano se representa por la intersección con los planos de proyección, a estas intersecciones se les llama trazas. El plano rojo a corta a los planos de proyección según las trazas a1 (traza horizontal) a2 (traza vertical) a3 (traza de perfil).
Teorema para todos los planos: las trazas de un plano siempre se cortan en un mismo punto sobre la línea de tierra. (Pues una recta –LT- corta a un plano en un punto, si lo hace en dos o más es que está contenida en él, en este caso las trazas coinciden en todos sus puntos sobre la LT, se dice que el plano pasa por la LT).
Otro tipo de plano oblicuo.
Planos bisectores el primer bisector 1b y segundo 2b, bisecan al plano horizontal y vertical.
Plano de canto o proyectante vertical: tiene la traza vertical a2 oblicua y la horizontal a1 ortogonal a la LT.
El plano de perfil tiene sus dos trazas perpendiculares a la línea de tierra.
Plano frontal f: es paralelo al vertical y su traza horizontal es paralela a la LT.
Plano horizontal h es paralelo al horizontal y su traza vertical h2es paralela a la LT.
Plano paralelo a la LT: tiene sus trazas p1 p2 paralelas a la LT.
Plano que pasa por la línea de tierra: tiene sus trazas en la LT.
Plano vertical, tiene la traza vertical a2 vertical, la horizontal debe ser oblicua, sino tenemos un plano de perfil.
Rectas
Las rectas se representan por sus proyecciones aunque también se pueden definir por sus trazas (puntos donde corta a los planos de proyección).
La recta a y sus proyecciones que la definen: a1 a2.
Su traza horizontal Ha y la vertical Va.
Una recta queda definida por dos proyecciones que pueden ser su planta y alzado o planta y perfil o perfil y alzado, etc.
La recta a penetra por encima de Va en el 2º cuadrante, por debajo de Ha en el 4º cuadrante y son visibles sus proyecciones en el 1º cuadrante. Por convenio las partes no visibles se representan discontinuas.
Aquí tenemos la misma recta a en sistema diédrico definida por sus proyecciones a1 a2 con los cuadrantes por los que pasa.
Aquí observamos la representación de una recta oblicua con sus trazas sobre el plano horizontal Hr y vertical Vr.
La representación diédrica de la recta anterior
Una recta frontal, paralela al plano vertical y oblicua respecto al horizontal.
Una recta paralela a la LT.
Una de perfil, que se puede incluir en un plano ortogonal a la LT. Los casos particulares de la de perfil son la horizontal, vertical y la que pasa por la LT.
Una recta de punta, ortogonal al PV.
Una vertical, ortogonal al PH.
Rectas y planos en sistema diédrico
Las rectas se representan por sus proyecciones y llevan señalado en rojo sus trazas que son los puntos donde cortan a los planos de proyección.
1- Vertical
Plano horizontal h es paralelo al horizontal y su traza vertical h2es paralela a la LT.
Plano paralelo a la LT: tiene sus trazas p1 p2 paralelas a la LT.
Plano que pasa por la línea de tierra: tiene sus trazas en la LT.
Plano vertical, tiene la traza vertical a2 vertical, la horizontal debe ser oblicua, sino tenemos un plano de perfil.
Rectas
Las rectas se representan por sus proyecciones aunque también se pueden definir por sus trazas (puntos donde corta a los planos de proyección).
La recta a y sus proyecciones que la definen: a1 a2.
Su traza horizontal Ha y la vertical Va.
Una recta queda definida por dos proyecciones que pueden ser su planta y alzado o planta y perfil o perfil y alzado, etc.
La recta a penetra por encima de Va en el 2º cuadrante, por debajo de Ha en el 4º cuadrante y son visibles sus proyecciones en el 1º cuadrante. Por convenio las partes no visibles se representan discontinuas.
Aquí tenemos la misma recta a en sistema diédrico definida por sus proyecciones a1 a2 con los cuadrantes por los que pasa.
Aquí observamos la representación de una recta oblicua con sus trazas sobre el plano horizontal Hr y vertical Vr.
La representación diédrica de la recta anterior
Una recta frontal, paralela al plano vertical y oblicua respecto al horizontal.
Una recta paralela a la LT.
Una de perfil, que se puede incluir en un plano ortogonal a la LT. Los casos particulares de la de perfil son la horizontal, vertical y la que pasa por la LT.
Una recta de punta, ortogonal al PV.
Una vertical, ortogonal al PH.
Rectas y planos en sistema diédrico
Las rectas se representan por sus proyecciones y llevan señalado en rojo sus trazas que son los puntos donde cortan a los planos de proyección.
1- Vertical
2- De punta
3- Oblicua
4- Oblicua
5- Horizontal
6- Frontal
7- Que pasa por la línea de tierra
8- De perfil
9- De perfil, que pasa por la línea de tierra y está incluida en el primer bisector.
Los planos se representan por sus trazas que son las rectas donde cortan a los planos de proyección.
10- Vertical o proyectante horizontal
11- Oblicuo
12- Oblicuo
13- Horizontal
14- Frontal
15- De canto o proyectante vertical
16- De perfil
17- Que pasa por la línea de tierra
18- Paralelo a la línea de tierra.
3- Oblicua
4- Oblicua
5- Horizontal
6- Frontal
7- Que pasa por la línea de tierra
8- De perfil
9- De perfil, que pasa por la línea de tierra y está incluida en el primer bisector.
Los planos se representan por sus trazas que son las rectas donde cortan a los planos de proyección.
10- Vertical o proyectante horizontal
11- Oblicuo
12- Oblicuo
13- Horizontal
14- Frontal
15- De canto o proyectante vertical
16- De perfil
17- Que pasa por la línea de tierra
18- Paralelo a la línea de tierra.
Rectas y planos en sistema diédrico con sus respectivos nombres.
Giros
http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com/
Giro es un movimiento de centro O que transforma la posición de un punto P de forma que éste se desplaza por un arco con una longitud constante respecto al centro O con una longitud y sentido dados.
El giro de un punto P respecto a un eje e mantiene el plano del giro perpendicular al eje.
El punto P gira respecto al eje vertical e en el sentido contrario a las agujas del reloj (levógiro) y se transforma en el punto Pg. Por tanto la trayectoria es un círculo cuyo centro es la proyección horizontal del eje y el ángulo el grado.
El punto A gira respecto al eje un ángulo de 130°. Una vez que se ha hecho el arco en planta transformando el punto A1 en (A1). Se proyecta este último punto a la proyección en alzado hasta que corta a la recta horizontal que pasa por el punto A2 obteniendo de esta forma el punto (A2), que es el punto girado en el alzado.
Para girar una recta que pasa por el eje de giro, tenemos que el punto de corte de ambas rectas es invariable en el giro por estar en el eje, por lo que será suficiente con calcular un único punto de la recta que va a girar. Tomamos el punto B y lo giramos a la izquierda según el ángulo dado obteniendo su nueva posición en planta B’1, que proyectamos al alzado hasta que corta a la recta horizontal por B2.
Una recta oblicua que gira a la izquierda y que corta al eje de rotación. En este caso giramos la traza de la recta hasta transformarla en una recta frontal
Una recta que corta al eje de rotación y gira un ángulo alfa de manera que tras la transformación, las proyecciones verticales de la recta original y su transformada son simétricas respecto al eje de simetría.
Una recta azul que se transforma por rotación respecto un eje en la recta roja. Cogemos uno de los dos puntos de la recta, por ejemplo la traza A y otro de una cota cualquiera, por ejemplo P, hacemos centro en la proyección horizontal del eje con el arco de giro igual para cada punto.
El punto A1 se transforma en (A) y el punto P1 ser transforma en el punto (P). Estos dos nuevos puntos de la recta girada los proyectamos sobre la proyección vertical que corta a las rectas horizontales que pasan por los puntos a2 P2 obteniendo los nuevos puntos de la recta girada en el alzado.
Como una recta queda definida por 2 puntos, para girar una recta que pasa por el eje será suficiente con girar uno de los puntos de la misma y considerar otro de los puntos en el eje ya que sobre éste, el punto resulta invariable.
Para girar un plano respecto a un eje según un ángulo dado, se hace una recta perpendicular desde la traza horizontal al eje (en el dibujo de color verde), y se gira esta perpendicular el ángulo dado respecto al eje. La distancia de la recta perpendicular al eje tras ser girada mantiene su misma dimensión, por lo que en su extremo hacemos la traza horizontal del plano (en color rojo) en su nueva posición que corta a la línea de tierra en un punto nuevo.
Para saber la orientación de la traza vertical, consideramos una recta horizontal del plano que también gira lo mismo que la traza horizontal del plano y cambia su proyección horizontal hasta obtener su nueva traza en el alzado, punto por el que pasará la nueva traza del plano.
Para transformar mediante un giro de eje e, un plano oblicuo verde en uno paralelo a la línea de tierra de color rosa, se hace un plano perpendicular al verde que pase por la recta y será aquel que tiene la proyección de la recta intersección perpendicular a la traza del plano verde. Este plano perpendicular, que es al mismo tiempo vertical, al ser girado mantiene la proyección de la recta de intersección perpendicular a la traza del plano horizontal.
La nueva traza vertical del plano paralelo a la línea de tierra queda definido por una recta paralela a la línea de tierra que pase por la intersección del plano vertical trazado y transformado en un plano de perfil con el plano vertical de proyección.
Para hacer un giro de un plano verde y calcular su nueva posición en color rosa, se pasa un plano perpendicular al mismo por el eje de revolución ABC. Este plano perpendicular ABC al dado verde que se gira, va a cortar a los de proyección según nuevas rectas (A)MH.
Las nuevas trazas del nuevo plano rosa girado son rectas que pasan por las trazas de la recta t y son perpendiculares a las proyecciones de la misma.
Para transformar un plano oblicuo en un plano proyectante vertical (de canto) mediante un giro de eje e, pasamos un plano vertical por el eje y perpendicular al plano oblicuo que lo corta según la recta a. Hacemos el giro de esta recta junto con la traza del plano oblicuo hasta que ésta quede perpendicular a la línea de tierra.
En este ejercicio correspondiente a detalles del anterior, observamos que el giro de la recta de intersección del plano vertical que pasa por el eje con el plano oblicuo, transforma en el giro la posición del punto A a su nueva posición (A). Esta nueva posición queda definida por el giro en planta de A1 que se transforma en (A1).
Giro es un movimiento de centro O que transforma la posición de un punto P de forma que éste se desplaza por un arco con una longitud constante respecto al centro O con una longitud y sentido dados.
El giro de un punto P respecto a un eje e mantiene el plano del giro perpendicular al eje.
El punto P gira respecto al eje vertical e en el sentido contrario a las agujas del reloj (levógiro) y se transforma en el punto Pg. Por tanto la trayectoria es un círculo cuyo centro es la proyección horizontal del eje y el ángulo el grado.
El punto A gira respecto al eje un ángulo de 130°. Una vez que se ha hecho el arco en planta transformando el punto A1 en (A1). Se proyecta este último punto a la proyección en alzado hasta que corta a la recta horizontal que pasa por el punto A2 obteniendo de esta forma el punto (A2), que es el punto girado en el alzado.
Para girar una recta que pasa por el eje de giro, tenemos que el punto de corte de ambas rectas es invariable en el giro por estar en el eje, por lo que será suficiente con calcular un único punto de la recta que va a girar. Tomamos el punto B y lo giramos a la izquierda según el ángulo dado obteniendo su nueva posición en planta B’1, que proyectamos al alzado hasta que corta a la recta horizontal por B2.
Una recta oblicua que gira a la izquierda y que corta al eje de rotación. En este caso giramos la traza de la recta hasta transformarla en una recta frontal
Una recta que corta al eje de rotación y gira un ángulo alfa de manera que tras la transformación, las proyecciones verticales de la recta original y su transformada son simétricas respecto al eje de simetría.
Una recta azul que se transforma por rotación respecto un eje en la recta roja. Cogemos uno de los dos puntos de la recta, por ejemplo la traza A y otro de una cota cualquiera, por ejemplo P, hacemos centro en la proyección horizontal del eje con el arco de giro igual para cada punto.El punto A1 se transforma en (A) y el punto P1 ser transforma en el punto (P). Estos dos nuevos puntos de la recta girada los proyectamos sobre la proyección vertical que corta a las rectas horizontales que pasan por los puntos a2 P2 obteniendo los nuevos puntos de la recta girada en el alzado.
Como una recta queda definida por 2 puntos, para girar una recta que pasa por el eje será suficiente con girar uno de los puntos de la misma y considerar otro de los puntos en el eje ya que sobre éste, el punto resulta invariable.
Para girar un plano respecto a un eje según un ángulo dado, se hace una recta perpendicular desde la traza horizontal al eje (en el dibujo de color verde), y se gira esta perpendicular el ángulo dado respecto al eje. La distancia de la recta perpendicular al eje tras ser girada mantiene su misma dimensión, por lo que en su extremo hacemos la traza horizontal del plano (en color rojo) en su nueva posición que corta a la línea de tierra en un punto nuevo.Para saber la orientación de la traza vertical, consideramos una recta horizontal del plano que también gira lo mismo que la traza horizontal del plano y cambia su proyección horizontal hasta obtener su nueva traza en el alzado, punto por el que pasará la nueva traza del plano.
Para transformar mediante un giro de eje e, un plano oblicuo verde en uno paralelo a la línea de tierra de color rosa, se hace un plano perpendicular al verde que pase por la recta y será aquel que tiene la proyección de la recta intersección perpendicular a la traza del plano verde. Este plano perpendicular, que es al mismo tiempo vertical, al ser girado mantiene la proyección de la recta de intersección perpendicular a la traza del plano horizontal.La nueva traza vertical del plano paralelo a la línea de tierra queda definido por una recta paralela a la línea de tierra que pase por la intersección del plano vertical trazado y transformado en un plano de perfil con el plano vertical de proyección.
Para hacer un giro de un plano verde y calcular su nueva posición en color rosa, se pasa un plano perpendicular al mismo por el eje de revolución ABC. Este plano perpendicular ABC al dado verde que se gira, va a cortar a los de proyección según nuevas rectas (A)MH.Las nuevas trazas del nuevo plano rosa girado son rectas que pasan por las trazas de la recta t y son perpendiculares a las proyecciones de la misma.
Para transformar un plano oblicuo en un plano proyectante vertical (de canto) mediante un giro de eje e, pasamos un plano vertical por el eje y perpendicular al plano oblicuo que lo corta según la recta a. Hacemos el giro de esta recta junto con la traza del plano oblicuo hasta que ésta quede perpendicular a la línea de tierra.
En este ejercicio correspondiente a detalles del anterior, observamos que el giro de la recta de intersección del plano vertical que pasa por el eje con el plano oblicuo, transforma en el giro la posición del punto A a su nueva posición (A). Esta nueva posición queda definida por el giro en planta de A1 que se transforma en (A1).Cambio de plano
Un cambio de plano consiste en considerar un nuevo plano de proyección para facilitar la lectura de la pieza. Las normas del sistema diédrico persisten por lo que las proyecciones nuevas de los elementos a representar siguen siendo ortogonales a los nuevos planos de proyección que se utilicen y el nuevo plano de proyección utilizado debe ser también ortogonal al plano de proyección horizontal o vertical o a su transformado. Por ejemplo, en la figura, si consideramos un nuevo plano vertical de proyección (en naranja) sobre el que proyectamos el objeto, obtenemos un detalle en verdadera forma del mismo. Al proyectar las líneas observamos que las cotas (las alturas a las que están los puntos del objeto) se mantienen.
El plano naranja es el nuevo plano de proyección vertical que para diferenciarlo del otro plano vertical, en la nueva línea de tierra o intersección con el horizontal se le marca un segmento más de cada lado. Un segundo cambio de plano supondrá sumar un segmento más a cada lado, etc.
El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico, tenemos una pieza cuyas vistas en planta y alzado no definen con precisión la curvatura de la superficie cilíndrica hueca. Para ello hacemos una nueva proyección, la equivalente a una vista a auxiliar, en la que el nuevo plano vertical es ortogonal al eje del cilindro hueco.
El nuevo plano vertical corta al horizontal según una nueva línea de tierra que contiene en sus extremos dos segmentos de cada lado, en vez de uno. La proyección sobre el nuevo plano es también ortogonal y las alturas de todos los detalles así como la altura de la pieza permanecen invariables. Podemos observar en el dibujo que un punto de la pieza A, tiene por proyección en alzado el punto A2, al proyectarlo sobre el nuevo plano vertical ese punto mantiene su misma altura o cota.
Tenemos un plano oblicuo de color rojo en el dibujo que interesa transformarlo en un plano de canto, que es aquel que tiene la traza horizontal perpendicular a la línea de tierra. Para que así sea el nuevo plano vertical debe tener su traza perpendicular a la traza horizontal del plano.
Este nuevo plano vertical de proyección PV2 corta al plano oblicuo según una nueva traza vertical i en la que un punto permanece invariable y es el que es común a los dos planos verticales y al plano dado. Por tanto al hacer el abatimiento la nueva traza del plano pasarán por este punto, y por la intersección de la traza del plano vertical nuevo PV2 y la traza horizontal del plano.
Aquí observamos el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico: la nueva traza del plano vertical que es la nueva línea de tierra perpendicular a la traza del plano beta dado. En la intersección de la nueva línea
de tierra con la anterior tenemos el punto M1, que unido al punto de intersección M2, punto de intersección de la traza vertical con el nuevo plano, tenemos la intersección de los dos planos hasta el plano dado. Esa longitud que llevamos perpendicular a la nueva línea de tierra a partir del punto M1, sirve para obtener el punto M’2. Este punto lo unimos con la intersección de la traza del plano y la nueva línea de tierra y tenemos la nueva traza vertical del plano.
Para transformar un plano oblicuo en un plano paralelo a la línea de tierra, basta con hacer una línea de tierra que sea paralela a la traza horizontal del plano. La nueva traza vertical del plano será paralela a la horizontal y su cota vendrá dada por la cota del punto de intersección del plano vertical con la traza vertical.
Transformación por cambio de plano de una recta oblicua en otra recta oblicua. Tenemos las proyecciones de una recta (en el dibujo de color rojo) y se trata de transformarla en otra cualquiera oblicua mediante un cambio de plano. Colocamos una nueva línea de tierra y tomamos las cotas de 2 puntos de la recta para la nueva proyección en alzado. Por los puntos de la recta en planta hacemos perpendiculares a la nueva línea de tierra y colocamos sus alturas obteniendo así la nueva recta transformada
Dado un plano oblicuo a, se trata de transformarlo en un plano proyectante vertical o de canto mediante un cambio de plano.
El plano naranja es el nuevo plano de proyección vertical que para diferenciarlo del otro plano vertical, en la nueva línea de tierra o intersección con el horizontal se le marca un segmento más de cada lado. Un segundo cambio de plano supondrá sumar un segmento más a cada lado, etc.
El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico, tenemos una pieza cuyas vistas en planta y alzado no definen con precisión la curvatura de la superficie cilíndrica hueca. Para ello hacemos una nueva proyección, la equivalente a una vista a auxiliar, en la que el nuevo plano vertical es ortogonal al eje del cilindro hueco.
El nuevo plano vertical corta al horizontal según una nueva línea de tierra que contiene en sus extremos dos segmentos de cada lado, en vez de uno. La proyección sobre el nuevo plano es también ortogonal y las alturas de todos los detalles así como la altura de la pieza permanecen invariables. Podemos observar en el dibujo que un punto de la pieza A, tiene por proyección en alzado el punto A2, al proyectarlo sobre el nuevo plano vertical ese punto mantiene su misma altura o cota.
Tenemos un plano oblicuo de color rojo en el dibujo que interesa transformarlo en un plano de canto, que es aquel que tiene la traza horizontal perpendicular a la línea de tierra. Para que así sea el nuevo plano vertical debe tener su traza perpendicular a la traza horizontal del plano.
Este nuevo plano vertical de proyección PV2 corta al plano oblicuo según una nueva traza vertical i en la que un punto permanece invariable y es el que es común a los dos planos verticales y al plano dado. Por tanto al hacer el abatimiento la nueva traza del plano pasarán por este punto, y por la intersección de la traza del plano vertical nuevo PV2 y la traza horizontal del plano.
Aquí observamos el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico: la nueva traza del plano vertical que es la nueva línea de tierra perpendicular a la traza del plano beta dado. En la intersección de la nueva línea
de tierra con la anterior tenemos el punto M1, que unido al punto de intersección M2, punto de intersección de la traza vertical con el nuevo plano, tenemos la intersección de los dos planos hasta el plano dado. Esa longitud que llevamos perpendicular a la nueva línea de tierra a partir del punto M1, sirve para obtener el punto M’2. Este punto lo unimos con la intersección de la traza del plano y la nueva línea de tierra y tenemos la nueva traza vertical del plano.
Para transformar un plano oblicuo en un plano paralelo a la línea de tierra, basta con hacer una línea de tierra que sea paralela a la traza horizontal del plano. La nueva traza vertical del plano será paralela a la horizontal y su cota vendrá dada por la cota del punto de intersección del plano vertical con la traza vertical.
Transformación por cambio de plano de una recta oblicua en otra recta oblicua. Tenemos las proyecciones de una recta (en el dibujo de color rojo) y se trata de transformarla en otra cualquiera oblicua mediante un cambio de plano. Colocamos una nueva línea de tierra y tomamos las cotas de 2 puntos de la recta para la nueva proyección en alzado. Por los puntos de la recta en planta hacemos perpendiculares a la nueva línea de tierra y colocamos sus alturas obteniendo así la nueva recta transformada
Dado un plano oblicuo a, se trata de transformarlo en un plano proyectante vertical o de canto mediante un cambio de plano.
El Plano proyectante vertical o de canto es aquel que tiene la traza horizontal ta perpendicular a la nueva línea de tierra tb. Por lo tanto el plano de proyección vertical tendrá que pasar por esta recta manteniendo la cota del punto de intersección con la traza vertical de a, invariable.
A la izquierda el plano oblicuo a dado definido por sus trazas a1 a2.
A la derecha la ejecución del ejercicio, la nueva línea de tierra verde perpendicular a la traza horizontal del plano a1. Éste nuevo plano vertical corta al plano vertical anterior según la recta m, que intercepta a la traza vertical del plano a2, en el punto F. Si unimos el punto P -intersección de la nueva línea de tierra verde con la anterior azul- con F y giramos este segmento hasta que sea perpendicular a la nueva línea de tierra verde habremos trasladado la cota del punto F que permanece invariable.
La nueva traza del plano pasará por F’, su transformado por el giro y por el punto de intersección de la nueva línea de tierra y la traza horizontal del plano a1 que también permanece invariable.
Si queremos transformar el plano de canto en uno de perfil, tendrá que tener las dos trazas perpendiculares a la tercera línea de tierra que hagamos. Por tanto el nuevo plano horizontal c será perpendicular a la recta de intersección de los planos a b y al plano b.
Un nuevo cambio de plano determinado por el plano d tendrá su nueva línea de tierra perpendicular a la anterior traza horizontal del plano, pasando a ser ahora una traza vertical.
Para transformar el plano de perfil ubicado sobre los planos de proyección de planta y alzado c, b, respectivamente en uno vertical se coge el plano d como nuevo plano vertical de proyección, con su traza d2 perpendicular a la línea de tierra.
A la izquierda el plano oblicuo a se transforma en de canto b con la nueva LT en verde.
El plano b se transforma en un plano de perfil c con la nueva LT magenta.
A la derecha el anterior plano c se transforma en un plano vertical d con la línea de tierra gris.
Dada una recta oblicua a1 a2 construir a partir de ella por cambio de plano una recta de perfil, una recta frontal y una recta de punta.
Se coloca la nueva línea de tierra perpendicular a la proyección de la recta oblicua a1. La proyección en el alzado a2’ será la prolongación de a1 y la nueva traza de esta recta tendrá la misma cota que la de la recta oblicua.
Para transformar esta recta en una frontal colocamos la línea de tierra paralela a la proyección de a1 y tomamos la cota de la última proyección vertical representando la recta en el nuevo alzado (en color rosa) a2’’’.
Para transformar esta recta frontal a1 a2’’’ en una recta de punta, haremos la nueva línea de tierra perpendicular a a2’’’. Esta nueva proyección la consideramos ahora como la nueva proyección horizontal, con lo que la llamaremos a1’. Para representar su proyección vertical que es un punto, ya que es perpendicular al plano vertical, tomaremos la distancia de la proyección a1 a la última línea de tierra. Esta distancia es la cota de la nueva proyección vertical A2.
En este dibujo vemos la representación en el espacio de la recta de perfil a1 a2’ que se transforma por cambio de plano en una recta frontal a1 a2’’’y ésta en una recta de punta a1’ A2.
Transformación de una recta de perfil en otra paralela a la línea de tierra. Se hace un plano paralelo a la recta de perfil y obtenemos el nuevo plano de perfil que transforma la recta en frontal con su nuevo alzado a2’. Hacemos un plano paralelo a la LT con su LT paralela a la nueva proyección a2’. Esta proyección vertical a2’ se transforma en una nueva proyección horizontal a1’ con su alzado con cota desde la línea de tierra hasta la proyección de a sobre el plano paralelo a la LT, esto es, hasta a2’’.
La recta paralela a la LT es a con sus proyecciones a1’ a2’’. Los planos de planta y alzado nuevos son el amarillo y azul respectivamente.
A la izquierda el plano oblicuo a dado definido por sus trazas a1 a2.
A la derecha la ejecución del ejercicio, la nueva línea de tierra verde perpendicular a la traza horizontal del plano a1. Éste nuevo plano vertical corta al plano vertical anterior según la recta m, que intercepta a la traza vertical del plano a2, en el punto F. Si unimos el punto P -intersección de la nueva línea de tierra verde con la anterior azul- con F y giramos este segmento hasta que sea perpendicular a la nueva línea de tierra verde habremos trasladado la cota del punto F que permanece invariable.
La nueva traza del plano pasará por F’, su transformado por el giro y por el punto de intersección de la nueva línea de tierra y la traza horizontal del plano a1 que también permanece invariable.
Si queremos transformar el plano de canto en uno de perfil, tendrá que tener las dos trazas perpendiculares a la tercera línea de tierra que hagamos. Por tanto el nuevo plano horizontal c será perpendicular a la recta de intersección de los planos a b y al plano b.
Un nuevo cambio de plano determinado por el plano d tendrá su nueva línea de tierra perpendicular a la anterior traza horizontal del plano, pasando a ser ahora una traza vertical.
Para transformar el plano de perfil ubicado sobre los planos de proyección de planta y alzado c, b, respectivamente en uno vertical se coge el plano d como nuevo plano vertical de proyección, con su traza d2 perpendicular a la línea de tierra.
A la izquierda el plano oblicuo a se transforma en de canto b con la nueva LT en verde.El plano b se transforma en un plano de perfil c con la nueva LT magenta.
A la derecha el anterior plano c se transforma en un plano vertical d con la línea de tierra gris.
Dada una recta oblicua a1 a2 construir a partir de ella por cambio de plano una recta de perfil, una recta frontal y una recta de punta.
Se coloca la nueva línea de tierra perpendicular a la proyección de la recta oblicua a1. La proyección en el alzado a2’ será la prolongación de a1 y la nueva traza de esta recta tendrá la misma cota que la de la recta oblicua.
Para transformar esta recta en una frontal colocamos la línea de tierra paralela a la proyección de a1 y tomamos la cota de la última proyección vertical representando la recta en el nuevo alzado (en color rosa) a2’’’.
Para transformar esta recta frontal a1 a2’’’ en una recta de punta, haremos la nueva línea de tierra perpendicular a a2’’’. Esta nueva proyección la consideramos ahora como la nueva proyección horizontal, con lo que la llamaremos a1’. Para representar su proyección vertical que es un punto, ya que es perpendicular al plano vertical, tomaremos la distancia de la proyección a1 a la última línea de tierra. Esta distancia es la cota de la nueva proyección vertical A2.
En este dibujo vemos la representación en el espacio de la recta de perfil a1 a2’ que se transforma por cambio de plano en una recta frontal a1 a2’’’y ésta en una recta de punta a1’ A2.
Transformación de una recta de perfil en otra paralela a la línea de tierra. Se hace un plano paralelo a la recta de perfil y obtenemos el nuevo plano de perfil que transforma la recta en frontal con su nuevo alzado a2’. Hacemos un plano paralelo a la LT con su LT paralela a la nueva proyección a2’. Esta proyección vertical a2’ se transforma en una nueva proyección horizontal a1’ con su alzado con cota desde la línea de tierra hasta la proyección de a sobre el plano paralelo a la LT, esto es, hasta a2’’.
La recta paralela a la LT es a con sus proyecciones a1’ a2’’. Los planos de planta y alzado nuevos son el amarillo y azul respectivamente.
En diédrico, dada la recta de perfil determinada por sus proyecciones a1 a2, para convertirla en paralela a la LT la transformamos en frontal con la LT paralela a a1 (en marrón a1 a2’).
La frontal se transforma en paralela a la LT considerando a2’ como nueva proyección en planta llamada ahora a1’, su proyección en alzado estará a la distancia d respecto a la tercera línea de tierra (la misma que de a1 al plano de perfil vertical del primer cambio de plano).
Transformación de un plano vertical v respecto a los dos planos de proyección, horizontal y vertical, en otro plano vertical v2.
El plano vertical se transforma en otro vertical si cogemos como plano vertical de proyección otro que sea perpendicular al plano horizontal y que no sea ni paralelo ni perpendicular al dado. Si es perpendicular como el plano p tenemos que el plano dado v se convierte en un plano de perfil.
Si el plano vertical fuese paralelo al plano dado, éste se convertiría en un plano frontal.
Si ahora cogemos un plano proyectante vertical o de canto -de color azul-, tenemos que este plano es perpendicular al plano vertical según dos rectas oblicuas, por lo que el plano dado v se transforma en un plano oblicuo.
Observamos tras todas estas transformaciones que el nuevo plano de proyección que escogemos para hacer el cambio de plano es siempre perpendicular a uno de los de proyección, o bien a uno de los transformados por cambio de plano de los planos de proyección.
Un plano oblicuo de color rojo o respecto a los dos planos de proyección, el horizontal y vertical, se transforma en uno de cantoproyectante vertical al coger como nuevo plano de proyección vertical el plano amarillo c, plano que tiene su línea de tierra perpendicular a la línea de tierra del plano rojo.
A continuación transformamos el plano oblicuo rojo en uno paralelo a la línea de tierrap de color verde, para ello consideramos un nuevo plano de proyección vertical con su línea de tierra paralela a la línea de tierra del plano rojo o.
Posteriormente queremos transformar el plano oblicuo rojo en uno que pase por la línea de tierra, entonces el nuevo plano vertical de proyección t pasará por la línea de tierra del plano oblicuo o. Éstas son todas las posibles posiciones de los nuevos planos verticales de proyección, de aquellos que son perpendiculares al plano horizontal. Para conocer todos los casos posibles basta con imaginar un plano cualquiera de estos y empezar a girarlo pasando por todas las posibles posiciones, de manera que siempre se mantenga perpendicular al plano horizontal de proyección.
Una recta a oblicua con sus dos proyecciones a1 a2 se quiere transformar en una recta de perfil, en otrafrontal, y por último en una recta de punta.
Para transformarla en una recta de perfil basta con hacer un nuevo plano -color aceituna- perpendicular al plano vertical dado de proyección. La que era proyección vertical de la recta a2 ahora pasa a ser proyección horizontal de la recta a1’’ y la nueva proyección vertical de la recta pasa a ser la proyección a’’.
Para transformar la recta de perfil en una recta frontal basta con hacer un plano paralelo a la recta dada y que al mismo tiempo sea perpendicular a lo que es el nuevo plano horizontal de proyección. El nuevo plano vertical y paralelo a la recta (en color gris) tiene como nueva proyección en alzado a la recta a2’’’.
Considerando éste último plano como nuevo plano de proyección horizontal, la que era proyección vertical de la recta a2’’’ ahora se transforma en proyección horizontal a1’’’ y la nueva proyección vertical de la recta es el punto a’’’’.
Aquí tenemos el ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico. La recta a esta dada por sus dos proyecciones a1 a2 y se transforma en la recta de perfil considerando una segunda línea de tierra perpendicular a la proyección a2. Esta proyección pasa a ser la proyección nueva en planta a1’’ y su proyección vertical pasa a ser la prolongación de esta recta por encima de la línea de tierra a2’’.
A continuación la recta se transforma en una recta de perfil considerando como línea de tierra la tercera. La recta dada a y su proyección a2 forman cierto ángulo que obtenemos abatiendo la recta a (a), la nueva proyección de la recta frontal a2’’’ tendrá el mismo ángulo respecto a la tercera línea de tierra.
Por último para transformar la recta frontal en una recta de punta, consideramos la proyección vertical de la recta a2’’’ como nueva proyección horizontal a1’’’ y su nueva proyección vertical será la distancia desde el nuevo plano horizontal de proyección a la recta a, o de igual forma será la distancia desde la tercera línea de tierra hasta la proyección vertical original a2. La última línea de tierra -la cuarta- será la intersección del nuevo plano horizontal gris y el plano nuevo vertical de color verde.
Una recta oblicua a dada por sus proyecciones a1 a2, se transforma en una recta de perfil al hacer un plano verde perpendicular a su proyección a1, teniendo como nueva proyección vertical a2’ y como nueva línea de tierra la 2ª.
La misma recta a se transforma en una recta frontal al considerar el nuevo plano vertical de proyección -en color blanco- paralelo a la recta dada a y a su proyección a1, en cuyo caso la línea de tierra 3ª es paralela a la proyección a1.
Las recta se transforma en recta de punta considerando el nuevo plano vertical de proyección -en rojo- perpendicular a la recta a y perpendicular al nuevo plano horizontal de proyección (color blanco), la nueva línea de tierra es la que aparece marcada como la número cuatro.
Un plano perpendicular al plano de color blanco y al mismo tiempo con la línea de tierra -la quinta línea de tierra- oblicua respecto a la proyección horizontal de la recta a2’’’, transforma ésta en una recta horizontal.
Cuando hacemos un plano azul perpendicular al blanco y al mismo tiempo paralelo a la recta a, obtenemos en la intersección de los dos planos la sexta y nueva línea de tierra; como la intersección es paralela a la recta a, tenemos de esta forma la recta transformada en una paralela a la línea de tierra.
El cambio de plano al proporcionar nuevas proyecciones facilita la visualización de la pieza. En la figura observamos una pieza en planta, alzado y perfil. Gracias a que se hace un cambio de plano se puede observar que existe una proyección de la misma en la que el contorno es una circunferencia, de lo que se desprende que la pieza es la intersección de un prisma hexagonal (pentágono que corresponde a la proyección en planta) y un cilindro (ortogonal al nuevo plano vertical de proyección del cambio de plano) de ejes coplanariaos y ortogonales.
La misma pieza con la misma proyección pero indicada de otra forma, mediante unavista auxiliar. En este caso en vez de hacer un cambio de plano proyectamos la vista A de la pieza indicando su dirección ortogonal a una de las caras en planta. El resultado de practicar una vista auxiliar de la pieza es el mismo que crear un cambio de plano, con la diferencia de que en el cambio de plano aparece una línea de tierra nueva, que es la intersección del plano vertical nuevo con el plano horizontal de proyección, mientras que en la visita auxiliar simplemente indicamos la dirección de la vista proyectada, el sentido, y al igual que en el cambio de plano se hace un giro de la vista de 90°. En la vista auxiliar aparece a la derecha entre paréntesis la escala de la nueva vista proyectada.
En la figura observamos un dodecaedro regular con sus caras coloreadas en el sistema diédrico con tres proyecciones: planta, alzado y perfil. Como las tres vistas tienen la misma forma-aunque en distinta disposición-es conveniente mostrar alguna otra vista para tener una mejor comprensión del objeto. Para ello se hace un cambio de plano y se proyecta una cara en verdadera forma para mostrar que ésta es un pentágono. En esta nueva vista se puede observar el contorno del dodecaedro que es un decágono regular y el pentágono opuesto al mostrado en verdadera forma que tiene sus vértices en las mediatrices de las caras de éste. En el dibujo se muestra también una sección para indicar que el corte del plano BB determina un pentágono regular.
En las figuras se muestran dos poliedros arquimedianos con 2 nuevas proyecciones hechas con cambios de plano, a mayores de las proyecciones diédricas.
La frontal se transforma en paralela a la LT considerando a2’ como nueva proyección en planta llamada ahora a1’, su proyección en alzado estará a la distancia d respecto a la tercera línea de tierra (la misma que de a1 al plano de perfil vertical del primer cambio de plano).
Transformación de un plano vertical v respecto a los dos planos de proyección, horizontal y vertical, en otro plano vertical v2.El plano vertical se transforma en otro vertical si cogemos como plano vertical de proyección otro que sea perpendicular al plano horizontal y que no sea ni paralelo ni perpendicular al dado. Si es perpendicular como el plano p tenemos que el plano dado v se convierte en un plano de perfil.
Si el plano vertical fuese paralelo al plano dado, éste se convertiría en un plano frontal.
Si ahora cogemos un plano proyectante vertical o de canto -de color azul-, tenemos que este plano es perpendicular al plano vertical según dos rectas oblicuas, por lo que el plano dado v se transforma en un plano oblicuo.
Observamos tras todas estas transformaciones que el nuevo plano de proyección que escogemos para hacer el cambio de plano es siempre perpendicular a uno de los de proyección, o bien a uno de los transformados por cambio de plano de los planos de proyección.
Un plano oblicuo de color rojo o respecto a los dos planos de proyección, el horizontal y vertical, se transforma en uno de cantoproyectante vertical al coger como nuevo plano de proyección vertical el plano amarillo c, plano que tiene su línea de tierra perpendicular a la línea de tierra del plano rojo.A continuación transformamos el plano oblicuo rojo en uno paralelo a la línea de tierrap de color verde, para ello consideramos un nuevo plano de proyección vertical con su línea de tierra paralela a la línea de tierra del plano rojo o.
Posteriormente queremos transformar el plano oblicuo rojo en uno que pase por la línea de tierra, entonces el nuevo plano vertical de proyección t pasará por la línea de tierra del plano oblicuo o. Éstas son todas las posibles posiciones de los nuevos planos verticales de proyección, de aquellos que son perpendiculares al plano horizontal. Para conocer todos los casos posibles basta con imaginar un plano cualquiera de estos y empezar a girarlo pasando por todas las posibles posiciones, de manera que siempre se mantenga perpendicular al plano horizontal de proyección.
Una recta a oblicua con sus dos proyecciones a1 a2 se quiere transformar en una recta de perfil, en otrafrontal, y por último en una recta de punta.Para transformarla en una recta de perfil basta con hacer un nuevo plano -color aceituna- perpendicular al plano vertical dado de proyección. La que era proyección vertical de la recta a2 ahora pasa a ser proyección horizontal de la recta a1’’ y la nueva proyección vertical de la recta pasa a ser la proyección a’’.
Para transformar la recta de perfil en una recta frontal basta con hacer un plano paralelo a la recta dada y que al mismo tiempo sea perpendicular a lo que es el nuevo plano horizontal de proyección. El nuevo plano vertical y paralelo a la recta (en color gris) tiene como nueva proyección en alzado a la recta a2’’’.
Considerando éste último plano como nuevo plano de proyección horizontal, la que era proyección vertical de la recta a2’’’ ahora se transforma en proyección horizontal a1’’’ y la nueva proyección vertical de la recta es el punto a’’’’.
Aquí tenemos el ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico. La recta a esta dada por sus dos proyecciones a1 a2 y se transforma en la recta de perfil considerando una segunda línea de tierra perpendicular a la proyección a2. Esta proyección pasa a ser la proyección nueva en planta a1’’ y su proyección vertical pasa a ser la prolongación de esta recta por encima de la línea de tierra a2’’.A continuación la recta se transforma en una recta de perfil considerando como línea de tierra la tercera. La recta dada a y su proyección a2 forman cierto ángulo que obtenemos abatiendo la recta a (a), la nueva proyección de la recta frontal a2’’’ tendrá el mismo ángulo respecto a la tercera línea de tierra.
Por último para transformar la recta frontal en una recta de punta, consideramos la proyección vertical de la recta a2’’’ como nueva proyección horizontal a1’’’ y su nueva proyección vertical será la distancia desde el nuevo plano horizontal de proyección a la recta a, o de igual forma será la distancia desde la tercera línea de tierra hasta la proyección vertical original a2. La última línea de tierra -la cuarta- será la intersección del nuevo plano horizontal gris y el plano nuevo vertical de color verde.
Una recta oblicua a dada por sus proyecciones a1 a2, se transforma en una recta de perfil al hacer un plano verde perpendicular a su proyección a1, teniendo como nueva proyección vertical a2’ y como nueva línea de tierra la 2ª.La misma recta a se transforma en una recta frontal al considerar el nuevo plano vertical de proyección -en color blanco- paralelo a la recta dada a y a su proyección a1, en cuyo caso la línea de tierra 3ª es paralela a la proyección a1.
Las recta se transforma en recta de punta considerando el nuevo plano vertical de proyección -en rojo- perpendicular a la recta a y perpendicular al nuevo plano horizontal de proyección (color blanco), la nueva línea de tierra es la que aparece marcada como la número cuatro.
Un plano perpendicular al plano de color blanco y al mismo tiempo con la línea de tierra -la quinta línea de tierra- oblicua respecto a la proyección horizontal de la recta a2’’’, transforma ésta en una recta horizontal.
Cuando hacemos un plano azul perpendicular al blanco y al mismo tiempo paralelo a la recta a, obtenemos en la intersección de los dos planos la sexta y nueva línea de tierra; como la intersección es paralela a la recta a, tenemos de esta forma la recta transformada en una paralela a la línea de tierra.
El cambio de plano al proporcionar nuevas proyecciones facilita la visualización de la pieza. En la figura observamos una pieza en planta, alzado y perfil. Gracias a que se hace un cambio de plano se puede observar que existe una proyección de la misma en la que el contorno es una circunferencia, de lo que se desprende que la pieza es la intersección de un prisma hexagonal (pentágono que corresponde a la proyección en planta) y un cilindro (ortogonal al nuevo plano vertical de proyección del cambio de plano) de ejes coplanariaos y ortogonales.
La misma pieza con la misma proyección pero indicada de otra forma, mediante unavista auxiliar. En este caso en vez de hacer un cambio de plano proyectamos la vista A de la pieza indicando su dirección ortogonal a una de las caras en planta. El resultado de practicar una vista auxiliar de la pieza es el mismo que crear un cambio de plano, con la diferencia de que en el cambio de plano aparece una línea de tierra nueva, que es la intersección del plano vertical nuevo con el plano horizontal de proyección, mientras que en la visita auxiliar simplemente indicamos la dirección de la vista proyectada, el sentido, y al igual que en el cambio de plano se hace un giro de la vista de 90°. En la vista auxiliar aparece a la derecha entre paréntesis la escala de la nueva vista proyectada.
En la figura observamos un dodecaedro regular con sus caras coloreadas en el sistema diédrico con tres proyecciones: planta, alzado y perfil. Como las tres vistas tienen la misma forma-aunque en distinta disposición-es conveniente mostrar alguna otra vista para tener una mejor comprensión del objeto. Para ello se hace un cambio de plano y se proyecta una cara en verdadera forma para mostrar que ésta es un pentágono. En esta nueva vista se puede observar el contorno del dodecaedro que es un decágono regular y el pentágono opuesto al mostrado en verdadera forma que tiene sus vértices en las mediatrices de las caras de éste. En el dibujo se muestra también una sección para indicar que el corte del plano BB determina un pentágono regular.
En las figuras se muestran dos poliedros arquimedianos con 2 nuevas proyecciones hechas con cambios de plano, a mayores de las proyecciones diédricas.
Para transformar una recta oblicua dada a por sus proyecciones a1 a2 en una recta vertical, la transformamos primero en una recta frontal. Para convertirla en una frontal hacemos un plano de color rosa vertical cuya línea de tierra es paralela a la proyección de la recta, esto es al segmento a1.
Ahora la nueva recta tendrá por proyección vertical a2’ mientras que la proyección horizontal seguirá siendo la misma a1 (en el dibujo este primer cambio de plano muestra la línea de tierra con dos segmentos de color azul cada lado).
Una vez que tenemos la nueva proyección vertical de la recta, aprovechamos ésta para transformarla en vertical, la proyección en alzado a2’ debe quedar vertical respecto al nuevo plano de proyección que aparece en el dibujo de color azul. Este plano es perpendicular al último que se hizo de color rosa y al mismo tiempo perpendicular a la recta a, ya que esta es la condición para que una recta sea vertical.
Si tenemos que la antigua proyección vertical de la recta a2’ se transforma en la nueva a2’’, tenemos que la nueva proyección horizontal de la recta es el punto A1’, y la distancia de éste punto al plano rosa será el alejamiento de esta recta.
Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2, y la primera línea de tierra en color negro. Para transformarla en una recta vertical, la transformamos primero en una recta frontal, para ello hacemos una línea de tierra en color azul que sea paralela a la proyección horizontal de la recta a1. Las cotas de la antigua proyección vertical se mantienen, de esta forma tenemos que la nueva proyección de la recta es a2’.
Para transformar ahora la nueva recta frontal en una vertical tomamos una línea de tierra nueva (en color violeta con tres segmentos de cada lado) que sea perpendicular a la proyección vertical a2’. La nueva proyección vertical seguirá siendo la misma a2’’ y la proyección horizontal será el punto A1’ que estará en la prolongación de la rectaa2’’ y a una distancia igual a la del segmento comprendido entre los puntos ZH.
Un ejercicio igual al anterior, variando la posición de los elementos:
Dada una recta oblicua a y sus dos proyecciones a1 a2, transformarla en una recta vertical (la primera línea de tierra, intersección del plano horizontal y vertical, aparece como un segmento a cada lado). Primero la transformamos en una recta frontal, por lo que su proyección vertical a2 pasa a ser la recta a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado).
A continuación hacemos un plano perpendicular al plano vertical verde y cuya línea de tierra sea perpendicular a la última proyección vertical a2’ (en la imagen la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta a y la colocamos perpendicularmente a la última línea de tierra, con lo que tenemos ya la recta vertical con sus dos proyecciones a2’ a1’.
Tenemos la recta oblicua dada por sus dos proyecciones a1 a2 (la línea de tierra de color rojo con un segmento de cada lado), y la transformamos en una recta frontal a1 a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado), de esta manera la proyección vertical de la recta a2 se transforma en a2’.
Cogemos la recta frontal a1 a2’y en su proyección vertical hacemos una línea de tierra perpendicular a la misma (la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta en proyección horizontal a1y la colocamos en la prolongación de la proyección vertical a2’, de esta manera la proyección vertical a2’ y horizontal a1’ están alineadas en una línea perpendicular a la línea de tierra (la que contiene tres segmentos de cada lado) y esta es la recta vertical que se pedía.
Una vez que tenemos la nueva proyección vertical de la recta, aprovechamos ésta para transformarla en vertical, la proyección en alzado a2’ debe quedar vertical respecto al nuevo plano de proyección que aparece en el dibujo de color azul. Este plano es perpendicular al último que se hizo de color rosa y al mismo tiempo perpendicular a la recta a, ya que esta es la condición para que una recta sea vertical.
Si tenemos que la antigua proyección vertical de la recta a2’ se transforma en la nueva a2’’, tenemos que la nueva proyección horizontal de la recta es el punto A1’, y la distancia de éste punto al plano rosa será el alejamiento de esta recta.
Tenemos la recta a dada por sus proyecciones a1 a2, y la primera línea de tierra en color negro. Para transformarla en una recta vertical, la transformamos primero en una recta frontal, para ello hacemos una línea de tierra en color azul que sea paralela a la proyección horizontal de la recta a1. Las cotas de la antigua proyección vertical se mantienen, de esta forma tenemos que la nueva proyección de la recta es a2’.Para transformar ahora la nueva recta frontal en una vertical tomamos una línea de tierra nueva (en color violeta con tres segmentos de cada lado) que sea perpendicular a la proyección vertical a2’. La nueva proyección vertical seguirá siendo la misma a2’’ y la proyección horizontal será el punto A1’ que estará en la prolongación de la rectaa2’’ y a una distancia igual a la del segmento comprendido entre los puntos ZH.
Un ejercicio igual al anterior, variando la posición de los elementos:
Dada una recta oblicua a y sus dos proyecciones a1 a2, transformarla en una recta vertical (la primera línea de tierra, intersección del plano horizontal y vertical, aparece como un segmento a cada lado). Primero la transformamos en una recta frontal, por lo que su proyección vertical a2 pasa a ser la recta a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado).
A continuación hacemos un plano perpendicular al plano vertical verde y cuya línea de tierra sea perpendicular a la última proyección vertical a2’ (en la imagen la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta a y la colocamos perpendicularmente a la última línea de tierra, con lo que tenemos ya la recta vertical con sus dos proyecciones a2’ a1’.
Tenemos la recta oblicua dada por sus dos proyecciones a1 a2 (la línea de tierra de color rojo con un segmento de cada lado), y la transformamos en una recta frontal a1 a2’ (la línea de tierra aparece con dos segmentos de cada lado), de esta manera la proyección vertical de la recta a2 se transforma en a2’.Cogemos la recta frontal a1 a2’y en su proyección vertical hacemos una línea de tierra perpendicular a la misma (la línea de tierra aparece con tres segmentos de cada lado). Tomamos la distancia de la proyección vertical a2’ a la recta en proyección horizontal a1y la colocamos en la prolongación de la proyección vertical a2’, de esta manera la proyección vertical a2’ y horizontal a1’ están alineadas en una línea perpendicular a la línea de tierra (la que contiene tres segmentos de cada lado) y esta es la recta vertical que se pedía.
Abatimiento
Abatir es girar un objeto en el espacio considerándolo en un plano para así hacerlo coincidir con una nueva vista en la que aparezca en verdadera forma o magnitud.
Para abatir un punto P del plano se hace la recta de máxima pendiente PO que pasa por él (la recta de m. pendiente es la que es perpendicular a la traza del plano). A continuación se hace un arco con centro en O con el radio PO, hasta que este arco corte a la proyección en planta de PO, que es P1-O. La intersección de P1-O prolongado y el arco es el punto abatido (P). Como este giro no se puede hacer en s. diédrico en verdadera forma, lo hacemos sobre el plano de la planta: P-P1 se transforma en P1-P, de la misma dimensión pero sobre la planta. El triángulo rectángulo P-P1-O se transforma en P’-P1-O. Igualmente se hace centro en O con el mismo radio, ya que OP=OP’, y la intersección del arco con O-P1 es (P).
En sistema diédrico el abatimiento del punto P sobre una recta r. La cota o altura de P se toma en el alzado y se pasa a la planta. A partir de P’ colocamos la altura (en verde) paralela a la traza horizontal del plano. Con centro en M y radio M-(Po) hacemos el arco hasta que corte a la prolongación de P’-M en Po. La recta abatida pasará por ese punto Po y por su traza H’.
Abatimiento del punto A de la traza vertical del plano y por lo tanto del plano.
Abatimiento sobre el plano vertical.
Desabatimiento de una circunferencia. Dibujamos la circunferencia sobre el plano de la planta y hacemos el proceso inverso al abatimiento para colocar la circunferencia sobre el plano oblicuo.
Colocar una pirámide apoyada en un plano oblicuo. Hay que dibujar el plano, desabatirlo y obtener el cuadrado de la base sobre el plano verde oblicuo. Una recta (k) del cuadrado ortogonal a ta seguirá siéndolo al desabatirla. La recta (d) diagonal del cuadrado incidente en (M) se transformará en una recta d que pase por M, punto de la traza vertical del plano. La altura será una perpendicular al plano por ser una pirámide recta. El cuadrado de la base y su abatimiento son formas afines (http://homologias.blogspot.com/), ya que todos los puntos de ambas figuras están alineados en una dirección y al prolongar cualquier recta del cuadrado, sea lado, diagonal -d- o una secante cualquiera al cuadrado, se corta con su afín (d) en el eje.
Como la dimensión de la traza vertical del plano es invariable en dimensión, se puede coger un punto de la misma, A, y en su proyección horizontal A1 hacer una recta perpendicular A1-M a la traza horizontal del plano. Donde esta perpendicular corte al arco cuyo centro está en la intersección de las trazas del plano tenemos el punto A2 abatido al que llamaremos A0. Por A0 y por la intersección de las trazas pasa la traza vertical abatida.
Abatimiento sobre el plano vertical.
Abatimiento de la recta sobre el plano vertical. En este caso en vez de coger la cota del punto, se coge el alejamiento K-P1. Ésta distancia se coloca perpendicular a P2-P’ en P2. Hacemos centro en P’ con el radio P’’ hasta que corte a P2-P’. Por este punto de intersección y Vr pasa la recta abatida (en azul).
Abatimiento de la recta r sobre el plano vertical.
Abatimiento del punto M de la traza vertical del plano.
Abatimiento de un punto A una recta horizontal del plano.
Desabatimiento de un cuadrado sobre un plano vertical. Se proyectan sus puntos sobre la traza horizontal y en las verticales de esos puntos colocaremos cada punto según su cota.
Abatimiento de un hexágono incidente en un plano oblicuo. Como los puntos de la figura están en el plano, se pueden distribuir sobre rectas horizontales. La recta horizontal que pasa por A tiene por proyección vertical BA y tiene por proyección horizontal MK. Por M se hace una perpendicular a la traza horizontal del plano (en azul) y donde corta a la abatida (en rojo) en (M) se hace una paralela (M)(K) a la traza horizontal azul. K(K) están en una perpendicular a la traza azul horizontal del plano.
Colocación de un pentágono sobre un plano oblicuo. Se desabate el plano, se coloca el pentágono sobre el plano de la planta y se desabate. Rectas paralelas a la traza del plano horizontal siguen siéndolo al desabatirlas. La intersección de estas rectas con las perpendiculares por los puntos de la figura abatida a la traza horizontal del plano nos determina los puntos de la figura sobre el plano.
Pirámide de base cuadrada apoyada en un plano oblicuo.
Cada punto de la base de la figura apoyada en el plano oblicuo y su correspondiente abatido son vértices de un rectángulo cuyos vértices opuestos a ambos están en la línea de tierra y la traza vertical del plano abatida (en azul).
Dado un triángulo ABC definido por sus proyecciones en planta y alzado, se pide determinar la verdadera forma del mismo. Para obtenerla pasamos un plano por él y lo abatimos, una vez que está abatido podemos ver en el plano sobre el que se ha abatido la verdadera forma del mismo.
Para hacer el plano que contiene al triángulo prolongamos sus segmentos hasta que corten a los dos planos de proyección. Por ejemplo el segmento A B prolongado determina en la intersección con los dos planos de proyección los puntos M H.
El abatimiento del plano se puede obtener abatiendo un punto cualquiera de la traza vertical, por ejemplo H. Por la proyección de este punto H1 hacemos una perpendicular a la traza horizontal del plano t que la corta en el punto S. Haciendo centro en el punto S con la distancia desde el punto S hasta H hacemos un arco hasta que corte en (H) a la prolongación de la recta H1-S, éste es el punto abatido de la traza vertical que si lo unimos con O y prolongamos la recta que pasa por ellos tenemos la traza vertical abatida del plano.
Seguimos el mismo procedimiento para todos los puntos, así por ejemplo, por el punto P hacemos una perpendicular al plano horizontal y donde lo corta hacemos otra perpendicular a la traza del plano. Como se tiene que P pertenece a la traza vertical, su abatimiento (P) estará sobre la traza vertical abatida en la intersección de la perpendicular a la traza.
Como la recta PN contiene al segmento del triángulo AC y el abatimiento del segmento es N(P) ya que el punto N es invariable en el giro, haremos en planta perpendiculares a la traza del plano t y donde corten a la recta abatida N(P), tendremos el segmento abatido del triángulo (A) (C).
Dado el triángulo rojo y sus dos proyecciones en planta y alzado prolongamos los segmentos (lados de los triángulos) hasta que corten a los planos de proyección. Por ejemplo el segmento A1 B1 lo prolongamos en planta y corta a la línea de tierra en el punto H1. Por H1 hacemos una vertical hasta que corte a la prolongación de la recta en el alzado A2 B2 en el punto H.
De igual forma prolongamos el segmento A2 B2 hasta que corte a la línea de tierra en el punto M2 por el que hacemos una vertical que corta a la prolongación de A1 B1 en el punto M1. De esta forma obtenemos las trazas del plano que contienen al triángulo, y serán las rectas que contienen en planta a los puntos M1 N1 K1.
Para abatir el plano que contiene al triángulo rojo hacemos centro en la intersección de las trazas O con la distancia hasta un punto cualquiera de la traza vertical H. La intersección de este arco con la perpendicular H1-S a la traza horizontal del plano por el punto H1 -que es la proyección horizontal del punto H- determina el punto (H), que es el punto H abatido. Por (H) y por la intersección de las trazas O pasa la traza vertical abatida del plano.
Para obtener el abatimiento de cualquier segmento del triángulo, cogemos un punto cualquiera, por ejemplo el punto P1 por el que hacemos una recta perpendicular a la traza horizontal del plano t y donde ésta recta corta a la traza vertical abatida tenemos el abatimiento de P que es el punto (P). Éste punto lo unimos con N1 y por los puntos A1 C1 hacemos rectas perpendiculares a la traza del plano hasta que corten al segmento abatido N1 (P) en los puntos (A) (C), que es el lado del triángulo abatido. Los demás lados se calculan de igual forma.
Para abatir un punto P del plano se hace la recta de máxima pendiente PO que pasa por él (la recta de m. pendiente es la que es perpendicular a la traza del plano). A continuación se hace un arco con centro en O con el radio PO, hasta que este arco corte a la proyección en planta de PO, que es P1-O. La intersección de P1-O prolongado y el arco es el punto abatido (P). Como este giro no se puede hacer en s. diédrico en verdadera forma, lo hacemos sobre el plano de la planta: P-P1 se transforma en P1-P, de la misma dimensión pero sobre la planta. El triángulo rectángulo P-P1-O se transforma en P’-P1-O. Igualmente se hace centro en O con el mismo radio, ya que OP=OP’, y la intersección del arco con O-P1 es (P).
En sistema diédrico el abatimiento del punto P sobre una recta r. La cota o altura de P se toma en el alzado y se pasa a la planta. A partir de P’ colocamos la altura (en verde) paralela a la traza horizontal del plano. Con centro en M y radio M-(Po) hacemos el arco hasta que corte a la prolongación de P’-M en Po. La recta abatida pasará por ese punto Po y por su traza H’.
Abatimiento del punto A de la traza vertical del plano y por lo tanto del plano.
Abatimiento sobre el plano vertical.
Desabatimiento de una circunferencia. Dibujamos la circunferencia sobre el plano de la planta y hacemos el proceso inverso al abatimiento para colocar la circunferencia sobre el plano oblicuo.
Colocar una pirámide apoyada en un plano oblicuo. Hay que dibujar el plano, desabatirlo y obtener el cuadrado de la base sobre el plano verde oblicuo. Una recta (k) del cuadrado ortogonal a ta seguirá siéndolo al desabatirla. La recta (d) diagonal del cuadrado incidente en (M) se transformará en una recta d que pase por M, punto de la traza vertical del plano. La altura será una perpendicular al plano por ser una pirámide recta. El cuadrado de la base y su abatimiento son formas afines (http://homologias.blogspot.com/), ya que todos los puntos de ambas figuras están alineados en una dirección y al prolongar cualquier recta del cuadrado, sea lado, diagonal -d- o una secante cualquiera al cuadrado, se corta con su afín (d) en el eje.
Como la dimensión de la traza vertical del plano es invariable en dimensión, se puede coger un punto de la misma, A, y en su proyección horizontal A1 hacer una recta perpendicular A1-M a la traza horizontal del plano. Donde esta perpendicular corte al arco cuyo centro está en la intersección de las trazas del plano tenemos el punto A2 abatido al que llamaremos A0. Por A0 y por la intersección de las trazas pasa la traza vertical abatida.
Abatimiento sobre el plano vertical.
Abatimiento de la recta sobre el plano vertical. En este caso en vez de coger la cota del punto, se coge el alejamiento K-P1. Ésta distancia se coloca perpendicular a P2-P’ en P2. Hacemos centro en P’ con el radio P’’ hasta que corte a P2-P’. Por este punto de intersección y Vr pasa la recta abatida (en azul).
Abatimiento de la recta r sobre el plano vertical.
Abatimiento del punto M de la traza vertical del plano.
Abatimiento de un punto A una recta horizontal del plano.
Desabatimiento de un cuadrado sobre un plano vertical. Se proyectan sus puntos sobre la traza horizontal y en las verticales de esos puntos colocaremos cada punto según su cota.
Abatimiento de un hexágono incidente en un plano oblicuo. Como los puntos de la figura están en el plano, se pueden distribuir sobre rectas horizontales. La recta horizontal que pasa por A tiene por proyección vertical BA y tiene por proyección horizontal MK. Por M se hace una perpendicular a la traza horizontal del plano (en azul) y donde corta a la abatida (en rojo) en (M) se hace una paralela (M)(K) a la traza horizontal azul. K(K) están en una perpendicular a la traza azul horizontal del plano.
Colocación de un pentágono sobre un plano oblicuo. Se desabate el plano, se coloca el pentágono sobre el plano de la planta y se desabate. Rectas paralelas a la traza del plano horizontal siguen siéndolo al desabatirlas. La intersección de estas rectas con las perpendiculares por los puntos de la figura abatida a la traza horizontal del plano nos determina los puntos de la figura sobre el plano.
Pirámide de base cuadrada apoyada en un plano oblicuo.
Cada punto de la base de la figura apoyada en el plano oblicuo y su correspondiente abatido son vértices de un rectángulo cuyos vértices opuestos a ambos están en la línea de tierra y la traza vertical del plano abatida (en azul).
Dado un triángulo ABC definido por sus proyecciones en planta y alzado, se pide determinar la verdadera forma del mismo. Para obtenerla pasamos un plano por él y lo abatimos, una vez que está abatido podemos ver en el plano sobre el que se ha abatido la verdadera forma del mismo.
Para hacer el plano que contiene al triángulo prolongamos sus segmentos hasta que corten a los dos planos de proyección. Por ejemplo el segmento A B prolongado determina en la intersección con los dos planos de proyección los puntos M H.
El abatimiento del plano se puede obtener abatiendo un punto cualquiera de la traza vertical, por ejemplo H. Por la proyección de este punto H1 hacemos una perpendicular a la traza horizontal del plano t que la corta en el punto S. Haciendo centro en el punto S con la distancia desde el punto S hasta H hacemos un arco hasta que corte en (H) a la prolongación de la recta H1-S, éste es el punto abatido de la traza vertical que si lo unimos con O y prolongamos la recta que pasa por ellos tenemos la traza vertical abatida del plano.
Seguimos el mismo procedimiento para todos los puntos, así por ejemplo, por el punto P hacemos una perpendicular al plano horizontal y donde lo corta hacemos otra perpendicular a la traza del plano. Como se tiene que P pertenece a la traza vertical, su abatimiento (P) estará sobre la traza vertical abatida en la intersección de la perpendicular a la traza.
Como la recta PN contiene al segmento del triángulo AC y el abatimiento del segmento es N(P) ya que el punto N es invariable en el giro, haremos en planta perpendiculares a la traza del plano t y donde corten a la recta abatida N(P), tendremos el segmento abatido del triángulo (A) (C).
Dado el triángulo rojo y sus dos proyecciones en planta y alzado prolongamos los segmentos (lados de los triángulos) hasta que corten a los planos de proyección. Por ejemplo el segmento A1 B1 lo prolongamos en planta y corta a la línea de tierra en el punto H1. Por H1 hacemos una vertical hasta que corte a la prolongación de la recta en el alzado A2 B2 en el punto H.De igual forma prolongamos el segmento A2 B2 hasta que corte a la línea de tierra en el punto M2 por el que hacemos una vertical que corta a la prolongación de A1 B1 en el punto M1. De esta forma obtenemos las trazas del plano que contienen al triángulo, y serán las rectas que contienen en planta a los puntos M1 N1 K1.
Para abatir el plano que contiene al triángulo rojo hacemos centro en la intersección de las trazas O con la distancia hasta un punto cualquiera de la traza vertical H. La intersección de este arco con la perpendicular H1-S a la traza horizontal del plano por el punto H1 -que es la proyección horizontal del punto H- determina el punto (H), que es el punto H abatido. Por (H) y por la intersección de las trazas O pasa la traza vertical abatida del plano.
Para obtener el abatimiento de cualquier segmento del triángulo, cogemos un punto cualquiera, por ejemplo el punto P1 por el que hacemos una recta perpendicular a la traza horizontal del plano t y donde ésta recta corta a la traza vertical abatida tenemos el abatimiento de P que es el punto (P). Éste punto lo unimos con N1 y por los puntos A1 C1 hacemos rectas perpendiculares a la traza del plano hasta que corten al segmento abatido N1 (P) en los puntos (A) (C), que es el lado del triángulo abatido. Los demás lados se calculan de igual forma.
Secciones
1-Planos paralelos cortados por otro producen secciones paralelas: si un plano de corte intercepta dos planos paralelos los secciona mediante líneas paralelas.
2-Si dos caras contiguas de una pieza son cortadas por un plano, al prolongar sus dos líneas de sección se cortan sobre la arista o prolongación de la arista que es intersección de las dos caras.
Según el primer teorema los lados del hexágono que es sección del cubo son paralelos.
Para calcular la sección de una figura dado el plano cortante definido por 3 puntos M N Ñ, por el teorema 1 tenemos:
M N están en el mismo plano por lo que ésta es una línea de corte del plano. N y Ñ también están en el mismo plano, es otra línea de corte que intercepta P L. Como planos paralelos producen secciones paralelas, por Ñ hacemos i paralela a MN y obtenemos O.
O P es un corte del plano ya que están en la misma cara. Por L haremos una paralela a h por ser planos paralelos de los que resulta secciones paralelas y obtenemos Q. Por Q una paralela a f y obtenemos R, por el punto R una paralela a la recta j y obtenemos b que corta a la arista en el punto S. Por S hacemos una paralela a la recta f hasta que corta a la arista en el punto T. Por T hacemos una paralela d a la recta j hasta que corta a la arista en el punto U, etc.
Según el segundo teorema si prolongamos las rectas f h se cortan en un punto de la prolongación de la recta g, si prolongamos las rectas i k se cortan en un punto de la prolongación de la recta j, etc.
Por el teorema 2 tenemos una forma nueva de calcular nuevos puntos de la sección: dos caras contiguas producen las secciones m j que se cortan en Z, un punto que está necesariamente sobre la prolongación de t (ya que un plano, el de corte, interseca con una recta t en un punto Z).
De esta forma si tenemos m, sección directa del plano que se corta con t en Z, como b corta a la cara horizontal en un punto, lo uno con Z y obtengo j, con lo que con 2 líneas siempre puedo obtener una tercera.
Para calcular la sección que produce un plano oblicuo alfa en una pirámide se pasa un plano proyectante vertical beta que corta al plano dado según la recta i. Esta recta intercepta a la arista de la pirámide en el punto P. Si prolongamos la arista de la base MO hasta que corta a la traza del plano en el punto N y lo unimos con el punto de intersección P obtenemos J en su prolongación en el corte con la arista de la figura.
Si prolongamos por M la arista de la base hasta que corte a la traza del plano y en el punto de intersección lo unimos con el punto P obtenemos el punto R.
Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual forma, teniendo en cuenta que al prolongar los lados del cuadrilátero de la sección de la pirámide, se cortan sobre la traza del plano-según el teorema de Desargues, http://homologias.blogspot.com/
-, de esta manera la recta TR se corta en la traza del plano, la recta PR se corta también en la traza del plano, etcétera.
Para calcular la sección de una pirámide con un plano oblicuo f se hace un plano incidente g en una de las aristas de la figura y que al mismo tiempo sea un plano proyectante vertical o de canto. Este plano g corta al plano dado f en una recta de intersección s que toca a la arista de la figura en el punto T.
Si tomamos el lado de la base de la figura del que hemos calculado el punto de intersección y lo prolongamos hasta la traza horizontal del plano hf, en el punto de corte Z de ésta se une con el punto de intersección calculado T y se prolonga esta recta hasta que corte a otra arista de la figura en V.
Hacemos lo mismo con las demás caras prolongamos otro lado de la base de la figura, por ejemplo la arista k y donde corte a la traza del plano hf (en N) lo unimos con el último punto calculado V y en la prolongación de la recta VN obtenemos en la intersección con la arista de la figura el punto R.
Aquí observamos el ejercicio resuelto en el sistema diédrico. El plano incidente en la arista es un plano de canto que interseca con el plano dado f según la recta s. Esta recta corta a la arista de la figura en el punto T. Al prolongar el lado de la base de la figura corta a la traza del plano hf en el punto Z. Uniendo Z con el punto T y prolongando la línea corta a otra arista de la figura en el punto V.
Otro lado de la base correspondiente a esa arista, por ejemplo la arista k, se prolonga hasta que corte a la traza del plano hf en un punto N. Unimos el punto N con el último calculado V y prolongamos la recta de unión hasta que corte a otra arista de la figura en el punto R. Los demás puntos se calculan de igual forma.
El procedimiento del ejercicio se basa en que la sección de la pirámide y la base son dos formas planas homólogas cuyo vértice es el de la pirámide. Las formas homólogas tienen sus lados correspondientes de manera que se cortan siempre sobre el eje, que en este caso es la traza horizontal del plano hf.
Un plano de canto (proyectante vertical) corta a la pirámide en el alzado en su arista según varios puntos, por ejemplo el punto H. Este punto H2 en alzado lo bajamos a la planta y donde corta a la arista de la figura obtenemos H1. Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual manera.
Para calcular la intersección del plano g con la pirámide de base cuadrada, se hace un plano a proyectante vertical que incida en el lado de la base conteniendo a esa cara de la pirámide. Éste plano vertical que interseca con el oblicuo dado en la recta m, corta a las aristas de la figura en los puntos P L.
Para obtener nuevos puntos de la sección de la pirámide, podemos pasar planos que cumplen la misma condición que el plano original a que tomamos: planos que pasan por las caras de la figura y cuya intersección con el plano g nos determina una recta de intersección de la pirámide con el plano dado.
Aquí observamos el ejercicio anterior en sistema diédrico, el plano g según una sección en color verde que calculamos pasando un plano proyectante vertical a con su traza horizontal incidente en el lado de la base de la pirámide y con su traza vertical coincidente en el alzado con la proyección de la cara o la arista de la pirámide. La intersección de este plano a con el dado g determina la recta m que corta a las aristas de la figura en los puntos P L según podemos observar en la planta, a continuación hacemos verticales por estos puntos hasta que corten en el alzado a la arista de la pirámide, obteniendo así la proyección en alzado de los puntos de intersección.
Para calcular la intersección de la pirámide con el plano oblicuo azul podemos pasar planos proyectantes verticales (planos de canto) incidentes en las aristas de la figura y que por tanto son coincidentes en el alzado con ellas. Éstos planos proyectantes cortan al plano azul según rectas w que determinan con las aristas de la figura en la planta el punto de intersección, puntos que a continuación se suben al alzado hasta que corten a la arista correspondiente.
Para determinar la intersección de una pirámide oblicua como un plano proyectante vertical, se cogen los puntos de intersección de ambos elementos en el alzado -por ejemplo, la intersección de la traza vertical del plano vt y de una arista de la figura es el punto A2- y haciendo centro en el punto O, punto de intersección de las dos trazas, y tomando como radio la distancia desde ese punto hasta cada uno de los puntos de intersección del plano y la figura hacemos un arco hasta que corte a la línea de tierra obteniendo el punto (A2). Desde este punto obtenido se baja una vertical.
Por el punto A1, proyección del punto A en planta, hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical anterior obteniendo así el punto abatido de la sección (A). Al hacer lo mismo con los cinco puntos de las aristas de la pirámide por donde pasa la sección del plano, obtenemos la sección abatida de la misma en verdadera forma.
Un caso análogo a la pirámide la tenemos en el cono. Se hace un plano m tangente al cono proyectante vertical que lo corta según la recta d. El plano es tangente al cono en la recta f que corta a la recta de intersección d en el punto U. Este punto U es un punto de la intersección del plano con el cono, para obtener otros se hace una recta cualquiera que pase por el plano horizontal y por el punto P, esta recta corta al cono en el punto K y al plano en el punto L. Uniendo el punto L con U obtenemos el punto Y en la intersección del segmento comprendido entre el punto K y el vértice V del cono. Los demás puntos de la sección se obtienen de forma análoga.
El caso de la sección de un cono con un plano proyectante vertical se opera igual que se hizo con la pirámide, pero como el cono no tiene aristas, se toman generatrices en vez de las aristas.
Para calcular la intersección de un plano vertical con una esfera se tiene que en planta la corta según una recta que es el diámetro en verdadera magnitud de la circunferencia sección. En el alzado tendremos que la circunferencia sección que se proyecta como una elipse tendrá su eje mayor en verdadera magnitud y será vertical y pasará por el centro de ese segmento proyectado de la planta al alzado. Los otros dos puntos correspondientes al segmento horizontal se proyectan desde la planta hasta el alzado, hasta que corte a la recta horizontal que pasa por el centro de la esfera. Al final se hace un abatimiento del plano vertical respecto a la traza vertical del plano para obtener a la derecha la sección en verdadera forma de la circunferencia.
Para calcular la intersección de una esfera con un plano oblicuo, la forma más sencilla de hacerlo consiste en hacer un cambio de plano transformando el plano oblicuo en un plano proyectante vertical. El ejercicio se convierte prácticamente en el anterior ya que los dos son planos proyectantes y la resolución de ambos es igual.
En el nuevo alzado resultante del cambio de plano tenemos la sección de la esfera que es una recta (se ha tomado esta recta como diámetro de la circunferencia de sección abatida), que proyectada a la planta nos determina el eje menor en esa vista. El eje mayor es el que corresponde a la sección del alzado ya que éste está en verdadera magnitud; basta con tomar su dimensión y colocarla en la planta a partir del centro en la recta ortogonal a la línea de tierra.
Cálculo de la sección de la esfera por un plano oblicuo sin cambio de plano.
Intersección de un cilindro con un plano paralelo a la línea de tierra. Se pasan planos de perfil que cortan al cilindro en la base según dos puntos por los que hacemos verticales. Estas líneas verticales cortan a la intersección del plano dado con el plano de perfil en otros dos puntos que son los de la intersección de la figura con el plano.
Intersección de un plano vertical con un cilindro. La traza horizontal del plano vertical corta a la circunferencia proyectada del cilindro en planta según M N. Estos puntos se proyectan mediante verticales al alzado determinando así las generatrices que acotan la sección de la figura.
Sección de un tubo (un cilindro con otro cilindro hueco interior) por un plano de perfil. En la planta observamos cuatro puntos que determinan los rectángulos por donde pasa la sección y que al proyectarlos en el perfil se tienen en verdadera forma. La sección en planta queda comprendida entre los puntos AB y CD. La sección en el alzado viene determinada por la traza del plano y coincide con él.
Sección de un plano de canto (proyectante vertical) generado sobre una pirámide truncada. La traza vertical del plano determina los puntos de intersección con la figura, puntos que no hay más que bajar a la planta y colocarlos sobre su arista correspondiente.
En el punto O2, intersección de las dos trazas del plano, se hace centro y se trasladan mediante un giro los puntos de corte del alzado hasta obtenerlos sobre la línea de tierra (así por ejemplo el punto A2 se transforma mediante el giro en el punto (A2). Por su punto proyectado en planta correspondiente A1 hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical que pasa por el punto (A2). La intersección de la recta vertical y la horizontal nos determina el punto abatido (A). Haciendo lo mismo con todos los puntos tenemos la sección abatida de la figura.
Sección meridional de un octaedro regular. El plano de corte que pasa por los puntos 1 6 determina como sección todo el rombo correspondiente al alzado de la figura.
O P es un corte del plano ya que están en la misma cara. Por L haremos una paralela a h por ser planos paralelos de los que resulta secciones paralelas y obtenemos Q. Por Q una paralela a f y obtenemos R, por el punto R una paralela a la recta j y obtenemos b que corta a la arista en el punto S. Por S hacemos una paralela a la recta f hasta que corta a la arista en el punto T. Por T hacemos una paralela d a la recta j hasta que corta a la arista en el punto U, etc.
Según el segundo teorema si prolongamos las rectas f h se cortan en un punto de la prolongación de la recta g, si prolongamos las rectas i k se cortan en un punto de la prolongación de la recta j, etc.
Por el teorema 2 tenemos una forma nueva de calcular nuevos puntos de la sección: dos caras contiguas producen las secciones m j que se cortan en Z, un punto que está necesariamente sobre la prolongación de t (ya que un plano, el de corte, interseca con una recta t en un punto Z).
De esta forma si tenemos m, sección directa del plano que se corta con t en Z, como b corta a la cara horizontal en un punto, lo uno con Z y obtengo j, con lo que con 2 líneas siempre puedo obtener una tercera.
Para calcular la sección que produce un plano oblicuo alfa en una pirámide se pasa un plano proyectante vertical beta que corta al plano dado según la recta i. Esta recta intercepta a la arista de la pirámide en el punto P. Si prolongamos la arista de la base MO hasta que corta a la traza del plano en el punto N y lo unimos con el punto de intersección P obtenemos J en su prolongación en el corte con la arista de la figura.
Si prolongamos por M la arista de la base hasta que corte a la traza del plano y en el punto de intersección lo unimos con el punto P obtenemos el punto R.
Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual forma, teniendo en cuenta que al prolongar los lados del cuadrilátero de la sección de la pirámide, se cortan sobre la traza del plano-según el teorema de Desargues, http://homologias.blogspot.com/
-, de esta manera la recta TR se corta en la traza del plano, la recta PR se corta también en la traza del plano, etcétera.
Para calcular la sección de una pirámide con un plano oblicuo f se hace un plano incidente g en una de las aristas de la figura y que al mismo tiempo sea un plano proyectante vertical o de canto. Este plano g corta al plano dado f en una recta de intersección s que toca a la arista de la figura en el punto T.Si tomamos el lado de la base de la figura del que hemos calculado el punto de intersección y lo prolongamos hasta la traza horizontal del plano hf, en el punto de corte Z de ésta se une con el punto de intersección calculado T y se prolonga esta recta hasta que corte a otra arista de la figura en V.
Hacemos lo mismo con las demás caras prolongamos otro lado de la base de la figura, por ejemplo la arista k y donde corte a la traza del plano hf (en N) lo unimos con el último punto calculado V y en la prolongación de la recta VN obtenemos en la intersección con la arista de la figura el punto R.
Aquí observamos el ejercicio resuelto en el sistema diédrico. El plano incidente en la arista es un plano de canto que interseca con el plano dado f según la recta s. Esta recta corta a la arista de la figura en el punto T. Al prolongar el lado de la base de la figura corta a la traza del plano hf en el punto Z. Uniendo Z con el punto T y prolongando la línea corta a otra arista de la figura en el punto V.Otro lado de la base correspondiente a esa arista, por ejemplo la arista k, se prolonga hasta que corte a la traza del plano hf en un punto N. Unimos el punto N con el último calculado V y prolongamos la recta de unión hasta que corte a otra arista de la figura en el punto R. Los demás puntos se calculan de igual forma.
El procedimiento del ejercicio se basa en que la sección de la pirámide y la base son dos formas planas homólogas cuyo vértice es el de la pirámide. Las formas homólogas tienen sus lados correspondientes de manera que se cortan siempre sobre el eje, que en este caso es la traza horizontal del plano hf.
Un plano de canto (proyectante vertical) corta a la pirámide en el alzado en su arista según varios puntos, por ejemplo el punto H. Este punto H2 en alzado lo bajamos a la planta y donde corta a la arista de la figura obtenemos H1. Los demás puntos de corte de la figura se calculan de igual manera.
Para calcular la intersección del plano g con la pirámide de base cuadrada, se hace un plano a proyectante vertical que incida en el lado de la base conteniendo a esa cara de la pirámide. Éste plano vertical que interseca con el oblicuo dado en la recta m, corta a las aristas de la figura en los puntos P L.
Para obtener nuevos puntos de la sección de la pirámide, podemos pasar planos que cumplen la misma condición que el plano original a que tomamos: planos que pasan por las caras de la figura y cuya intersección con el plano g nos determina una recta de intersección de la pirámide con el plano dado.
Aquí observamos el ejercicio anterior en sistema diédrico, el plano g según una sección en color verde que calculamos pasando un plano proyectante vertical a con su traza horizontal incidente en el lado de la base de la pirámide y con su traza vertical coincidente en el alzado con la proyección de la cara o la arista de la pirámide. La intersección de este plano a con el dado g determina la recta m que corta a las aristas de la figura en los puntos P L según podemos observar en la planta, a continuación hacemos verticales por estos puntos hasta que corten en el alzado a la arista de la pirámide, obteniendo así la proyección en alzado de los puntos de intersección.
Para calcular la intersección de la pirámide con el plano oblicuo azul podemos pasar planos proyectantes verticales (planos de canto) incidentes en las aristas de la figura y que por tanto son coincidentes en el alzado con ellas. Éstos planos proyectantes cortan al plano azul según rectas w que determinan con las aristas de la figura en la planta el punto de intersección, puntos que a continuación se suben al alzado hasta que corten a la arista correspondiente.
Para determinar la intersección de una pirámide oblicua como un plano proyectante vertical, se cogen los puntos de intersección de ambos elementos en el alzado -por ejemplo, la intersección de la traza vertical del plano vt y de una arista de la figura es el punto A2- y haciendo centro en el punto O, punto de intersección de las dos trazas, y tomando como radio la distancia desde ese punto hasta cada uno de los puntos de intersección del plano y la figura hacemos un arco hasta que corte a la línea de tierra obteniendo el punto (A2). Desde este punto obtenido se baja una vertical.
Por el punto A1, proyección del punto A en planta, hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical anterior obteniendo así el punto abatido de la sección (A). Al hacer lo mismo con los cinco puntos de las aristas de la pirámide por donde pasa la sección del plano, obtenemos la sección abatida de la misma en verdadera forma.
Un caso análogo a la pirámide la tenemos en el cono. Se hace un plano m tangente al cono proyectante vertical que lo corta según la recta d. El plano es tangente al cono en la recta f que corta a la recta de intersección d en el punto U. Este punto U es un punto de la intersección del plano con el cono, para obtener otros se hace una recta cualquiera que pase por el plano horizontal y por el punto P, esta recta corta al cono en el punto K y al plano en el punto L. Uniendo el punto L con U obtenemos el punto Y en la intersección del segmento comprendido entre el punto K y el vértice V del cono. Los demás puntos de la sección se obtienen de forma análoga.
El caso de la sección de un cono con un plano proyectante vertical se opera igual que se hizo con la pirámide, pero como el cono no tiene aristas, se toman generatrices en vez de las aristas.
Para calcular la intersección de un plano vertical con una esfera se tiene que en planta la corta según una recta que es el diámetro en verdadera magnitud de la circunferencia sección. En el alzado tendremos que la circunferencia sección que se proyecta como una elipse tendrá su eje mayor en verdadera magnitud y será vertical y pasará por el centro de ese segmento proyectado de la planta al alzado. Los otros dos puntos correspondientes al segmento horizontal se proyectan desde la planta hasta el alzado, hasta que corte a la recta horizontal que pasa por el centro de la esfera. Al final se hace un abatimiento del plano vertical respecto a la traza vertical del plano para obtener a la derecha la sección en verdadera forma de la circunferencia.
Para calcular la intersección de una esfera con un plano oblicuo, la forma más sencilla de hacerlo consiste en hacer un cambio de plano transformando el plano oblicuo en un plano proyectante vertical. El ejercicio se convierte prácticamente en el anterior ya que los dos son planos proyectantes y la resolución de ambos es igual.
En el nuevo alzado resultante del cambio de plano tenemos la sección de la esfera que es una recta (se ha tomado esta recta como diámetro de la circunferencia de sección abatida), que proyectada a la planta nos determina el eje menor en esa vista. El eje mayor es el que corresponde a la sección del alzado ya que éste está en verdadera magnitud; basta con tomar su dimensión y colocarla en la planta a partir del centro en la recta ortogonal a la línea de tierra.
Cálculo de la sección de la esfera por un plano oblicuo sin cambio de plano.
Intersección de un cilindro con un plano paralelo a la línea de tierra. Se pasan planos de perfil que cortan al cilindro en la base según dos puntos por los que hacemos verticales. Estas líneas verticales cortan a la intersección del plano dado con el plano de perfil en otros dos puntos que son los de la intersección de la figura con el plano.
Intersección de un plano vertical con un cilindro. La traza horizontal del plano vertical corta a la circunferencia proyectada del cilindro en planta según M N. Estos puntos se proyectan mediante verticales al alzado determinando así las generatrices que acotan la sección de la figura.
Sección de un tubo (un cilindro con otro cilindro hueco interior) por un plano de perfil. En la planta observamos cuatro puntos que determinan los rectángulos por donde pasa la sección y que al proyectarlos en el perfil se tienen en verdadera forma. La sección en planta queda comprendida entre los puntos AB y CD. La sección en el alzado viene determinada por la traza del plano y coincide con él.
Sección de un plano de canto (proyectante vertical) generado sobre una pirámide truncada. La traza vertical del plano determina los puntos de intersección con la figura, puntos que no hay más que bajar a la planta y colocarlos sobre su arista correspondiente.
En el punto O2, intersección de las dos trazas del plano, se hace centro y se trasladan mediante un giro los puntos de corte del alzado hasta obtenerlos sobre la línea de tierra (así por ejemplo el punto A2 se transforma mediante el giro en el punto (A2). Por su punto proyectado en planta correspondiente A1 hacemos una recta horizontal hasta que corte a la vertical que pasa por el punto (A2). La intersección de la recta vertical y la horizontal nos determina el punto abatido (A). Haciendo lo mismo con todos los puntos tenemos la sección abatida de la figura.
Sección meridional de un octaedro regular. El plano de corte que pasa por los puntos 1 6 determina como sección todo el rombo correspondiente al alzado de la figura.
Sección de un prisma por un plano vertical. Los puntos de corte de la traza horizontal con la base de la figura A1 B1 los proyectamos al alzado haciendo verticales sobre la figura, obteniendo así la sección en el alzado. La sección en planta queda comprendida entre los puntos A1 B1 y la sección en el alzado es el rectángulo cuya base es el segmento A2 B2.
Sección de un prisma oblicuo por un plano proyectante vertical. Los puntos de intersección del plano con la figura los tenemos en el alzado, puntos que hay que proyectar sobre la figura en planta. A partir de la sección obtenida en la figura se hace el abatimiento del plano de canto para obtener su verdadera forma.
Sección de un tetraedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una arista. Los puntos de corte M N quedan definidos en el alzado, proyectamos ambos sobre la planta y se transforman en dos segmentos de punta NL MK. El cuadrilátero que determinan estos dos segmentos determina la sección de la figura que a continuación es abatida tomando como eje de giro la traza horizontal del plano.
Sección de un octaedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una de sus caras. Al igual que el ejercicio anterior la sección la determinan los puntos de corte de la traza vertical con la proyección vertical de la figura, puntos que hay que bajar a las aristas correspondientes en la planta. Obteniendo los puntos de cada arista los unimos hasta obtener el hexágono de sección.
Secciones por cambio de plano
Dada una pirámide de vértice V, se trata de calcular su sección por un plano oblicuo (en amarillo). Se hace la recta a, de máxima pendiente del plano, que es aquella línea perpendicular a su traza hu. Se pasa un plano vertical m por ella, cuya traza hm sea perpendicular a hu y se toma éste como nuevo plano de proyección, de esta forma el plano oblicuo amarillo se transforma en uno proyectante vertical y su sección aparece en el nuevo alzado proyectada sobre la recta a.
Tenemos el ejercicio en sistema diédrico, se trata de que la traza hu oblicua respecto al plano vertical se transforme en perpendicular a la misma. Para ello se prolonga por encima del alzado y se hace una nueva línea de tierra ortogonal a la misma. Cogemos el nuevo plano proyectante de traza hm que corta al vertical de proyección en h hasta el plano oblicuo en alzado. La recta h es invariante en el nuevo plano de proyección.
El plano corta en el nuevo alzado a la figura según varios puntos que bajamos a la planta obteniendo la sección en la misma (en el dibujo, estos puntos separan la parte cortada por encima y debajo del plano, en rojo y amarillo, respectivamente).
Secciones por homología
La sección de una figura por un plano (en amarillo), la obtenemos haciendo una recta a paralela a la traza del plano hasta que corta al plano vertical en P. Se hace una paralela a la traza del plano vu hasta que corta a la línea de tierra. En el punto de intersección se hace una paralela m1 a hu. Se prolonga s1 hasta que corte a m1 en Ñ1. Se une Ñ1 con V y por D1 (intersección de s1 con la traza del plano hu) se hace una paralela t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.
Obtención de otros puntos por afinidad
Para obtener los demás puntos de una forma más sencilla, tenemos que la recta t corta a s1 en D1 y a la arista f en T. Si prolongamos una arista de la base w hasta que corte a la traza del plano en X, uniendo este punto con T obtenemos la recta z que es otra línea de sección de la pirámide. Repetimos la misma operación con las demás caras de la figura.
Cálculo de la sección en sistema diédrico
En planta y alzado la resolución del ejercicio. Por V1 una recta a1 paralela a hu, corta en el alzado en P2.Por P2 una recta mu paralela a vu que corta a la LT en un punto por el que se hace una paralela m1 a hu. Donde s1 corta a esta recta en Ñ1 lo unimos con V1 determinando k1. Por D1 (intersección de s1 y hu) hacemos una paralela a k1 obteniendo la recta t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.
Sección de un prisma oblicuo por un plano proyectante vertical. Los puntos de intersección del plano con la figura los tenemos en el alzado, puntos que hay que proyectar sobre la figura en planta. A partir de la sección obtenida en la figura se hace el abatimiento del plano de canto para obtener su verdadera forma.
Sección de un tetraedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una arista. Los puntos de corte M N quedan definidos en el alzado, proyectamos ambos sobre la planta y se transforman en dos segmentos de punta NL MK. El cuadrilátero que determinan estos dos segmentos determina la sección de la figura que a continuación es abatida tomando como eje de giro la traza horizontal del plano.
Sección de un octaedro regular por un plano proyectante vertical paralelo a una de sus caras. Al igual que el ejercicio anterior la sección la determinan los puntos de corte de la traza vertical con la proyección vertical de la figura, puntos que hay que bajar a las aristas correspondientes en la planta. Obteniendo los puntos de cada arista los unimos hasta obtener el hexágono de sección.
Secciones por cambio de plano
Dada una pirámide de vértice V, se trata de calcular su sección por un plano oblicuo (en amarillo). Se hace la recta a, de máxima pendiente del plano, que es aquella línea perpendicular a su traza hu. Se pasa un plano vertical m por ella, cuya traza hm sea perpendicular a hu y se toma éste como nuevo plano de proyección, de esta forma el plano oblicuo amarillo se transforma en uno proyectante vertical y su sección aparece en el nuevo alzado proyectada sobre la recta a.
Tenemos el ejercicio en sistema diédrico, se trata de que la traza hu oblicua respecto al plano vertical se transforme en perpendicular a la misma. Para ello se prolonga por encima del alzado y se hace una nueva línea de tierra ortogonal a la misma. Cogemos el nuevo plano proyectante de traza hm que corta al vertical de proyección en h hasta el plano oblicuo en alzado. La recta h es invariante en el nuevo plano de proyección.
El plano corta en el nuevo alzado a la figura según varios puntos que bajamos a la planta obteniendo la sección en la misma (en el dibujo, estos puntos separan la parte cortada por encima y debajo del plano, en rojo y amarillo, respectivamente).
Secciones por homología
La sección de una figura por un plano (en amarillo), la obtenemos haciendo una recta a paralela a la traza del plano hasta que corta al plano vertical en P. Se hace una paralela a la traza del plano vu hasta que corta a la línea de tierra. En el punto de intersección se hace una paralela m1 a hu. Se prolonga s1 hasta que corte a m1 en Ñ1. Se une Ñ1 con V y por D1 (intersección de s1 con la traza del plano hu) se hace una paralela t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.
Obtención de otros puntos por afinidad
Para obtener los demás puntos de una forma más sencilla, tenemos que la recta t corta a s1 en D1 y a la arista f en T. Si prolongamos una arista de la base w hasta que corte a la traza del plano en X, uniendo este punto con T obtenemos la recta z que es otra línea de sección de la pirámide. Repetimos la misma operación con las demás caras de la figura.
Cálculo de la sección en sistema diédrico
En planta y alzado la resolución del ejercicio. Por V1 una recta a1 paralela a hu, corta en el alzado en P2.Por P2 una recta mu paralela a vu que corta a la LT en un punto por el que se hace una paralela m1 a hu. Donde s1 corta a esta recta en Ñ1 lo unimos con V1 determinando k1. Por D1 (intersección de s1 y hu) hacemos una paralela a k1 obteniendo la recta t1. La recta t1 es la sección de una cara de la figura.
Intersección
Para calcular la intersección de una recta y un plano, se pasa un plano por la recta, calculamos la recta de intersección de los 2 planos. Ésta recta corta a la dada en un punto y es el de intersección.
Si dos rectas se cortan determinan un plano, por lo que sus trazas están en las rectas de un plano. Si dos rectas se cortan, el punto de intersección de ambas tiene sus proyecciones alineadas en planta y alzado sobre una vertical. Si no están alineadas las proyecciones del punto sobre una vertical, las rectas se cruzan.
La intersección de dos planos queda determinada por la intersección de sus trazas. La recta que pasa por esos dos puntos es la recta de intersección de los mismos.
Intersección de recta y plano
Dada la recta oblicua y plano oblicuo beta, se pasa un plano cualquiera por la recta r (en este caso uno vertical), la recta de intersección de los 2 planos determina en el alzado el punto de intersección A2 con la recta , sólo hay que bajar su proyección A1 a la planta.
Intersección de recta y plano. Para calcular la intersección de la recta a y el plano beta, pasamos un plano auxiliar alfa por a. Los dos planos verticales se cortan en una recta vertical que corta a la recta a en el punto P.
Intersección de planos
Intersección de plano verde y rojo. Una recta queda determinada por dos puntos y la intersección de las trazas horizontales y verticales de los dos planos son dos puntos por donde pasa la recta de intersección BC. Si utilizamos el plano de perfil tenemos otras dos trazas de los planos que se cortarán en un punto A de la misma recta de intersección BC.
Los puntos de intersección de las trazas en planta y alzado determinan la recta r de intersección de los dos planos.
Intersección de un plano vertical y oblicuo. La recta a la determinan los dos puntos de intersección de las trazas de los planos.
Intersección de un plano vertical y oblicuo en sistema diédrico. La recta r la determinan los dos puntos de intersección de las trazas de los planos alfa y beta.
La recta a de intersección de los dos planos tendrá sus 3 trazas HA VA Pa en las 3 trazas de los planos por pertenecer a ambos.
Si un plano beta es cortado por uno paralelo a los de proyección (PH) su intersección a es paralela a la traza correspondiente.
En la figura un plano horizontal beta (paralelo al PH) corta a uno oblicuo alfa. La recta de intersección r1 es por tanto paralela a alfa1.
Un plano vertical v y otro proyectante vertical o de canto c se cortan según una recta oblicua a. Las trazas de los planos se cortan en el primer y cuarto cuadrante (Ha Va).
Dos planos se cortan en el segundo cuadrante según la recta i. Las proyecciones i1 i2 quedan por tanto sobre el 2º cuadrante.
Dos planos alfa beta se cortan en la intersección de las trazas, como las trazas horizontales son paralelas, la recta de intersección será una recta paralela a ellas ya que las tres se han de cortar en el mismo punto, esto es, en el infinito. La única recta que lleva dirección en el alzado hacia el infinito es aquella que es paralela a la línea de tierra.
Dos planos se cortan según el punto M en el primer cuadrante, desconociéndose su recta de intersección. Se hace un plano auxiliar, por ejemplo horizontal para que sus intersecciones a b con los planos dados sean paralelas a las trazas horizontales de los planos dados. Como a b son rectas de ambos planos y al mismo tiempo del mismo plano horizontal se cortan en un punto P por donde pasa la recta de intersección MP de ambos planos.
En la figura un plano horizontal beta (paralelo al PH) corta a uno oblicuo alfa. La recta de intersección r1 es por tanto paralela a alfa1.
Un plano vertical v y otro proyectante vertical o de canto c se cortan según una recta oblicua a. Las trazas de los planos se cortan en el primer y cuarto cuadrante (Ha Va).
Dos planos se cortan en el segundo cuadrante según la recta i. Las proyecciones i1 i2 quedan por tanto sobre el 2º cuadrante.
Dos planos alfa beta se cortan en la intersección de las trazas, como las trazas horizontales son paralelas, la recta de intersección será una recta paralela a ellas ya que las tres se han de cortar en el mismo punto, esto es, en el infinito. La única recta que lleva dirección en el alzado hacia el infinito es aquella que es paralela a la línea de tierra.
Dos planos se cortan según el punto M en el primer cuadrante, desconociéndose su recta de intersección. Se hace un plano auxiliar, por ejemplo horizontal para que sus intersecciones a b con los planos dados sean paralelas a las trazas horizontales de los planos dados. Como a b son rectas de ambos planos y al mismo tiempo del mismo plano horizontal se cortan en un punto P por donde pasa la recta de intersección MP de ambos planos.
Un plano oblicuo alfa y otro vertical beta y su recta de intersección a.
Un plano phi oblicuo se interseca con uno frontal beta (paralelo al vertical). La recta de intersección en alzado (r2) es paralela a phi2, pues planos paralelos producen rectas de intersección paralelas y el frontal es paralelo al vertical.
Intersección de un plano beta paralelo a la línea de tierra y un plano oblicuo a.
La recta de intersección pasa por la intersección de las trazas.
La intersección de plano de canto (proyectante vertical) y oblicuo es una recta oblicua.
Intersección de plano paralelo a la línea de tierra y oblicuo con su recta oblicua de intersección.
Intersección de dos planos oblicuos.
Intersección de plano paralelo a la línea de tierra y oblicuo.
Intersección de plano de perfil beta y oblicuo alfa. Como el de perfil es paralelo al plano de perfil de proyección, la intersección a3 es paralela a la traza del plano alfa.
Intersección de un plano beta paralelo a la línea de tierra y un plano oblicuo a.
La recta de intersección pasa por la intersección de las trazas.
La intersección de plano de canto (proyectante vertical) y oblicuo es una recta oblicua.
Intersección de plano paralelo a la línea de tierra y oblicuo con su recta oblicua de intersección.
Intersección de dos planos oblicuos.
Intersección de plano paralelo a la línea de tierra y oblicuo.
Intersección de plano de perfil beta y oblicuo alfa. Como el de perfil es paralelo al plano de perfil de proyección, la intersección a3 es paralela a la traza del plano alfa.
Intersección de plano de perfil y oblicuo. La intersección de las trazas verticales de los planos queda en el cuarto cuadrante.
Intersección de plano definido por dos rectas m n y recta r.
Se hace un plano aleatorio beta incidente en r, éste corta a m n en AB. La recta AB corta a r en P, solución del ejercicio.
Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (alfa y beta). Se proyecta el perfil de los elementos y se observa el punto de corte de las trazas de los planos en la tercera proyección. La recta de intersección r pasa por ese punto y es paralela a la línea de tierra.
Intersección de plano oblicuo y plano que pasa por la línea de tierra. La recta común a los planos es una recta que pasa por la línea de tierra y que pasa por el punto común de las trazas alfa 1 y alfa 2 y por el punto de intersección de alfa 3 y beta 3.
Intersección de dos planos oblicuos. Las dos trazas verticales se cortan en Vr y las horizontales en Hr y éstas son las trazas de la recta de intersección r.
Intersección de plano horizontal y oblicuo. Como el horizontal es paralelo al plano de proyección horizontal, su intersección será una recta horizontal r que pase por el punto de intersección P1 de las dos trazas verticales de los planos.
Intersección de plano frontal y oblicuo. Como el frontal es paralelo al plano vertical de proyección, tenemos el mismo ejercicio que el anterior, pero girado 180º (la planta pasa a ser alzado y recíprocamente).
Intersección de rectas
Si dos rectas se cortan están en un plano (por tanto las trazas de las rectas están en las trazas del plano) el punto de intersección de ambas tiene sus proyecciones en planta y alzado alineadas sobre una vertical en planta y alzado (ya que esta es la representación de un punto en sistema diédrico).
Las dos rectas sobre un plano con sus trazas sobre las de los planos.
A la izquierda dos rectas que se cortan con el punto de intersección alineado en una vertical en planta y alzado, ya que ésta es la posición de un punto siempre en diédrico.
Intersección de plano definido por dos rectas m n y recta r.
Se hace un plano aleatorio beta incidente en r, éste corta a m n en AB. La recta AB corta a r en P, solución del ejercicio.
Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra (alfa y beta). Se proyecta el perfil de los elementos y se observa el punto de corte de las trazas de los planos en la tercera proyección. La recta de intersección r pasa por ese punto y es paralela a la línea de tierra.
Intersección de plano oblicuo y plano que pasa por la línea de tierra. La recta común a los planos es una recta que pasa por la línea de tierra y que pasa por el punto común de las trazas alfa 1 y alfa 2 y por el punto de intersección de alfa 3 y beta 3.
Intersección de dos planos oblicuos. Las dos trazas verticales se cortan en Vr y las horizontales en Hr y éstas son las trazas de la recta de intersección r.
Intersección de plano horizontal y oblicuo. Como el horizontal es paralelo al plano de proyección horizontal, su intersección será una recta horizontal r que pase por el punto de intersección P1 de las dos trazas verticales de los planos.
Intersección de plano frontal y oblicuo. Como el frontal es paralelo al plano vertical de proyección, tenemos el mismo ejercicio que el anterior, pero girado 180º (la planta pasa a ser alzado y recíprocamente).
Intersección de rectas
Si dos rectas se cortan están en un plano (por tanto las trazas de las rectas están en las trazas del plano) el punto de intersección de ambas tiene sus proyecciones en planta y alzado alineadas sobre una vertical en planta y alzado (ya que esta es la representación de un punto en sistema diédrico).
Las dos rectas sobre un plano con sus trazas sobre las de los planos.
A la izquierda dos rectas que se cortan con el punto de intersección alineado en una vertical en planta y alzado, ya que ésta es la posición de un punto siempre en diédrico.
A la derecha dos rectas que no se cortan (se cruzan) pues P1 P2 no están alineados en la vertical, como sucedería en la representación de cualquier punto.
Los dos planos g j se cortan en una recta a que pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante. Para determinar la intersección de ambos, prolongamos las trazas horizontales de ambos y obtenemos el punto de intersección P sobre el plano horizontal.
Prolongamos las trazas verticales de los planos hasta que se cortan en el punto O sobre el plano vertical. La recta que pasa por ambos puntos es la de intersección de los dos planos. Si representamos la tercera proyección en el perfil podemos observar que la intersección de las dos trazas determina M. Los 3 puntos POM, por pertenecer a ambos planos y estar en la recta de intersección están alineados.
Tenemos los dos planos g j de color azul determinados por las trazas g1 g2 j1 j2. Prolongamos la traza horizontal g1 del plano g hasta que corta a la traza horizontal j1 del plano j, obteniendo un punto de intersección P1 sobre el plano horizontal.
Prolongamos las trazas verticales de ambos planos g2 j2 y en su intersección O2 obtenemos un punto de la recta de intersección a sobre el plano vertical. Este punto O2 lo proyectamos sobre el perfil obteniendo O3.
Tenemos que la recta pasa sobre el plano horizontal por P1 y por el plano vertical por O2, proyectamos estos puntos sobre la línea de tierra obtenemos P2 O2, respectivamente. Los proyectamos también sobre el perfil para obtener la tercera proyección de los mismos P3 O3. La recta de intersección en su proyección horizontal a1 pasa por los puntos P1 O1, en su proyección vertical pasa por los puntos P2 O2. En su proyección en el perfil pasa por O3 y por el punto final del segmento d2, que es igual al alejamiento d1, esto es, la distancia del punto P1 al plano vertical.
De esta manera tenemos las tres proyecciones de la recta a (en el dibujo aparecen en color rojo), recta que pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante.
Intersección de 2 figuras planas
Para calcular la intersección de dos triángulos se hace uso de un plano auxiliar horizontal alfa que los corta según las rectas a b, la intersección M de a b es un punto de la línea de intersección de los dos triángulos.
Operando de igual forma con otro plano beta, corta a los triángulos en c d , la intersección de c d es N.
MN es por tanto la recta de intersección de los dos planos.
El plano horizontal de mayor cota corta al triángulo amarillo según AB, al rojo según MN, la intersección de AB y MN es I. Bajamos las proyecciones de A2, B2, M2,…al contorno de los triángulos en planta, obteniendo A1, B1,…etc.
El plano horizontal de menor cota corta al triángulo amarillo según KL, al rojo según YZ, la intersección de KL e YZ es J. Bajamos igualmente las proyecciones de estos puntos a la planta.
La recta YJ es la intersección de los dos triángulos. El segmento correspondiente a la intersección está comprendido en la parte común a los dos triángulos, esto es, La intersección de IJ con el contorno del triángulo rojo.
Intersección de distintos elementos
Intersección de recta y cono. Se coge un punto cualquiera P sobre la recta y se une con V. La intersección de VP con la base del cono (plano azul) es P’.
Se une P’ con M (punto de intersección de la recta dada a con el plano azul donde se apoya el cono) obteniendo la recta g.
Las rectas g a determinan el plano de corte que pasa por V.
Si unimos los puntos de intersección de g con la base del cono (D’ C’) con V obtenemos DC en la intersección con a. DC son los puntos de intersección de a con el cono.
En diédrico. Uniendo V1 con P1 (punto aleatorio de la recta azul) obtenemos T2 en el alzado, lo bajamos con una vertical a la planta y obtenemos T1sobre la recta V- P1.
T1-B1 es la recta transformada de B1-P1 por proyección desde V.
B1-T1 corta a la base del cono en H1 K1. Estos puntos se unen con V1 obteniendo en la intersección con B1-P1 los puntos de intersección de la recta con el cono.
La superficie rayada es la sección del plano que pasa por la recta y por el vértice del cono V.
Para calcular la intersección de una recta m con una pirámide se puede hacer un plano vertical v que pase por la recta y que corta a la figura según el polígono abc. La intersección del polígono y la recta determina la intersección de la recta m y la pirámide.
Se puede operar en sistema diédrico como se hizo en el ejercicio del cono:
Uniendo V1 con T1 (punto aleatorio de la recta dada) obtenemos I2 en el alzado, lo bajamos con una vertical a la planta y obtenemos I1sobre la recta V1- T1.
P1-I1 es la recta transformada de T1-P1 por proyección desde V.
P1-I1 corta a la base del cono en N1 M1. Estos puntos se unen con V1 obteniendo en la intersección con T1-P1 los puntos de intersección de la recta A1 B1 con la pirámide.
La superficie rayada es la sección del plano que pasa por la recta y por el vértice del cono V.
La intersección de una recta y una pirámide. Como el plano es proyectante vertical (de canto), la traza vertical del plano determina en su intersección con las aristas de la pirámide los puntos de corte en el alzado. Estos puntos se bajan a la planta para dibujar el triángulo de sección. En los dos puntos de corte del triángulo con la línea dada tenemos la intersección con la figura.
Un plano vertical corta a la figura en planta en los puntos MNÑO, se suben al alzado y en la intersección del polígono que forman con la recta dad tenemos los puntos de entrada y salida de la recta en la figura.
Un plano horizontal corta a la figura según una sección idéntica a la base de la figura, ya que el prisma se forma por desplazamiento o extrusión de la base. Los puntos de corte obtenidos en alzado se bajan a la vista en planta obteniendo la forma idéntica a la base.
La intersección de una recta b con un prisma se puede obtener al trazar por un punto cualquiera del mismo Y una paralela a la dirección del eje del prisma (recta a).
La recta a corta en el alzado en P2, se baja a la planta (P1). Unimos P1 con B1 (intersección de b con el plano de la planta). P1-B1 corta a la base de la figura en dos puntos por los que se trazan paralelas a la recta a. La intersección de las paralelas con b define los puntos MN, puntos de intersección de la recta con el prisma.
El procedimiento para calcular la intersección de una recta con una figura es trazar por un punto de ella una recta a paralela a la dirección b de la figura. Donde la recta a corta al plano del suelo se une con el punto de intersección de la recta con el suelo. En los puntos de corte de esta recta con la base de la figura hacemos dos rectas de dirección b que cortan a la recta dada en los puntos de corte buscados.
La intersección de cualquier figura plana con una recta se puede obtener como intersección de la recta con la sección plana que produce el plano que incide en la recta.
Intersección de superficies radiadas
Para hallar la intersección de dos superficies que se cortan, se coge un plano auxiliar, este plano corta a las dos superficies en dos curvas planas, la intersección de las dos curvas planas nos da los puntos de intersección de la superficies por ese plano. Para calcular nuevos puntos de la intersección hay que pasar nuevos planos cortantes por las dos superficies.
Es una condición necesaria pasar los planos de forma que seccionen a las superficies en curvas fáciles de dibujar.
Existen distintos casos en la intersección de superficies, éstos se pueden clasificar en:
1- Mordedura. (M) En la intersección por mordedura cada superficie corta en parte a la otra, por regla general la curva de intersección es alabeada, que quiere decir que sus puntos no están sobre un plano.
2-Penetración. (P) En la penetración una superficie entra dentro de la otra y la atraviesa completamente, hay por tanto una curva de entrada y otra de salida.
3-Penetración tangencial. (PT) Se da cuando las dos curvas de entrada y salida de la superficie son tangentes en un punto. Si trazamos las dos rectas tangentes a las curvas por ese punto determinamos un plano que es tangente a las dos superficies.
4-Penetración máxima, (PM) las curvas de intersección de entrada y salida tienen dos puntos en común, con lo que se penetran recíprocamente.
Mordedura:
La intersección de dos figuras de ejes que se cruzan se obtiene trazando por el vértice V de una de ellas una paralela “a” a la dirección de la otra. Por a trazaremos distintos planos que corten a las dos figuras, así, el plano que pasa por a y es tangente al cilindro corta a las dos figuras según las rectas b c. Donde el plano d-a corta a la base de la figura: en N hacemos rectas paralelas (b) a la recta a sobre el cilindro. En Ñ unimos los puntos de la base del cono con su vértice V.
La intersección de b c es O, punto de la curva de intersección de las dos superficies. Si trazamos dos planos tangentes a las superficies por b y c se cortan en una recta tangente a las dos en el punto de intersección O.
En sistema diédrico hacemos la recta a por el vértice del cono V. Desde a hacemos planos que corten a las dos figuras. En los puntos de corte de las trazas de esos planos con la base del cilindro (TS), hacemos paralelas a la dirección del cilindro. Donde corte a la base del cono los unimos con el vértice V. La intersección de las rectas produce puntos de la curva de intersección de ambas superficies.
Penetración
El procedimiento es el mismo que el anterior. Por V seguimos la dirección q. Los planos que pasan por q cortan por lo general a las dos superficies en 4 rectas: hujk.
La intersección de uj es T, la de jh es s, la de kh es L, etc.
Los planos de corte que pasan por q seccionan al cilindro siempre mediante generatrices del mismo, esto es, rectas paralelas a su eje. Los planos de corte que pasan por q seccionan al cono siempre mediante generatrices del mismo, esto es, rectas que pasan por su vértice.
Como ejemplo se ha proyectado en diédrico un alzado y perfil y se ha pasado un plano ortogonal al perfil. La dirección del cilindro es una paralela al eje por N2, la del cono es una recta que pasa por M2 hasta el vértice A. La intersección de estas dos direcciones generan el punto V.
Intersección de superficies de revolución de ejes coplanares
Para calcular la intersección de superficies de revolución de ejes a b que se cortan podemos coger esferas que corten a ambas.
La esfera amarilla e cuyo centro C es la intersección de los ejes corta al hiperboloide gris según un plano cuya proyección es la recta r y al pequeño hiperboloide rosa según un plano cuya proyección es la recta z. La intersección de z y r genera una recta cuya proyección es el punto N, punto de la curva de intersección de ambas superficies.
Por regla general para calcular la intersección entre dos superficies se pasa un plano que corte a ambas produciendo dos curvas de intersección. La intersección de esas dos curvas genera 2 puntos de intersección de las dos superficies. Para calcular otros 2 pasamos otro plano paralelo al anterior procediendo de igual forma. Cada plano generará siempre 2 puntos de intersección y la curva pasará por el conjunto de todos los puntos de los planos que seccionan a las dos figuras.
Intersección de una esfera y un prisma recto. Un prisma recto cuyo eje pasa por el centro de la esfera genera como intersección entre los dos cuerpos una figura cuya planta es un cuadrado y cuyo alzado tiene cuatro circunferencias.
Una vista auxiliar muestra que la intersección de los dos sólidos produce una circunferencia concéntrica al contorno de la esfera.
Un objeto formado por la intersección de dos cilindros de igual diámetro tiene por proyecciones en planta y alzado circunferencias, mientras que en el perfil se percibe la intersección de los dos cilindros de ejes ortogonales entre sí como diagonales de un cuadrado que es el contorno de la figura.
Intersección de las dos superficies cilíndricas del mismo diámetro y de ejes ortogonales del ejercicio anterior y al mismo tiempo de una superficie prismática hexagonal con el eje perpendicular a ambas.
En la figura podemos observar la intersección de un cubo con dos toros. El toro de sección diametral menor provoca en su intersección una “lemniscata” deformada. Mientras que el toro de mayor sección es cortado por un plano tangente a las dos circunferencias de un perfil de la figura, por lo que la intersección del plano y el toro genera dos circunferencias secantes llamadas de Villarceau por ser quien las descubrió por el año 1840, como se puede percibir en la vista auxiliar del perfil proyectado A.
En la figura observamos distintas secciones del toro, en verde la figura parecida a una elipse alargada, en azul la lemniscata (inversa de la hipérbola) y en rosa la sección correspondiente a un plano tangente en el alzado a las dos circunferencias de los extremos de la figura, que genera como sección las dos circunferencias secantes de Villarceau.
Para calcular la intersección de un toro con un plano horizontal hacemos un plano vertical en planta de manera que produce como sección la circunferencia a1. Esta circunferencia se proyecta en el alzado desde el punto N1, que es donde corta a la circunferencia meridiana.
En el alzado la circunferencia a2 corta al extremo de la pieza en el punto P2. Desde el punto P2 bajamos una vertical hasta que corte a la circunferencia a1 en P1.
P1 es un punto de la curva sección del toro con forma de infinito llamada lemniscata de Bernoulli.
Para calcular la intersección del cono con los dos cilindros, se hacen dos secciones planas en el alzado m n. Éstas secciones son dos circunferencias que proyectamos a la planta. La intersección de estas dos circunferencias con el contorno de los dos cilindros genera P1 R1 que proyectamos al alzado y en la intersección con las circunferencias m n, respectivamente, obtenemos P2 R2, puntos de de intersección de la curva.
Para calcular la intersección del cono y cilindro se hace en el alzado una generatriz que va del vértice V2 al punto P2 de la circunferencia de la base. Ésta generatriz corta en el alzado al cilindro en el punto I2 desde el que hacemos una vertical que corta a la generatriz en la planta en el punto I1. Para obtener más puntos, de forma análoga se hacen nuevas generatrices hasta la base y donde corte de la circunferencia en el alzado se baja el punto de intersección hasta que corte a la generatriz en la planta.
Para calcular la intersección del cono y cilindro hacemos un plano horizontal que corta en el alzado al cono según una circunferencia azul, ésta determina en la intersección con el cilindro M2 N2 en el alzado. Se bajan dos rectas verticales a b hasta que corte en la proyección en planta de la circunferencia sección del cono en los puntos M1 N1. Estos puntos corresponden a la curva de intersección del cilindro y el cono. Para obtener nuevos puntos se hacen nuevos planos horizontales que corten al cono en la proyección vertical, en cuyos puntos se bajan verticales hasta que corten a la circunferencia sección de la proyección horizontal.
Para calcular la intersección de la esfera con el cilindro hacemos planos horizontales que cortan en el alzado a las esferas según circunferencias cuyas proyecciones son las rectas a 2 b2.
Las circunferencias de sección en planta cortan al cilindro en los puntos P1 R1, en cuyas verticales determinan en el alzado con la intersección de a2 b2, puntos de la curva de intersección del cilindro y la esfera.
Para calcular la intersección de un toro y un cilindro pasamos un plano horizontal que corta al toro en el alzado según las circunferencias amarilla y azul. Estas circunferencias se proyectan en planta mediante la corona circular comprendida entre los puntos N1 M1. En el perfil observamos que el cilindro corta al toro en el punto A3 que proyectamos a la planta obteniendo el punto A1, este es un punto de la intersección del cilindro con el toro. Para obtener otro punto en la misma recta paralela a la línea de tierra que pasa por el punto A1 observamos que corta a la circunferencia azul en el punto B1.
Intersecciones de figuras aplicando la diferencia entre ellas. La ventaja que tiene aplicar la diferencia entre dos figuras que se intersecan es que permite ver la inscripción de una otra sin necesidad de que aparezcan ambas de forma manifiesta.
En la figura se ha calculado la diferencia entre un dodecaedro regular y un cubo. De esta forma se ve una posible inscripción del cubo dentro del dodecaedro en la que los vértices del cubo ABCD coinciden con vértices del dodecaedro regular.
En cada arista del cubo se apoyan las diagonales de cada pentágono regular del dodecaedro.
Al practicar el hueco cúbico dentro del dodecaedro, como las aristas del cubo inciden en las diagonales de los pentágonos, esto es, en el dodecaedro regular, se tiene que las aristas del cubo son vistas de forma continua en las proyecciones diédricas.
Como el hueco cúbico corta las caras y vértices del dodecaedro, tenemos que el dodecaedro se transforma en seis prismas en forma de tejados a cuatro aguas.
Se han practicado dos cortes en la figura que dejan mostrar el interior de los lados del cubo, en el corte B-B el plano pasa por la diagonal del cubo. En el corte C-C EL plano es paralelo a una arista del cubo.
En este ejercicio se ha practicado la diferencia de un dodecaedro regular y una esfera, ambos concéntricos. Como el dodecaedro regular es un poliedro regular se tiene que todos los vértices equidistan del centro y como toda sección de la esfera por un plano es una circunferencia, se tiene que cada cara del dodecaedro regular tendrá un hueco centrado en forma de circunferencia.
Las tres vistas del dodecaedro en planta, alzado y perfil son iguales aunque giradas 90º. La vista auxiliar en la dirección B genera una cara del poliedro en verdadera magnitud. Para calcular la excentricidad de las elipses de las caras alternas, en la proyección DD se dibuja la esfera y se marcan los puntos de corte MN sobre el poliedro. Estos puntos se proyectan sobre la vista auxiliar B. La distancia MN sobre esta vista es el eje menor de la elipse, mientras que el mayor (en rojo) es igual al diámetro de la circunferencia en verdadera magnitud (en verde).
Sabemos que un plano que tiene una pendiente de 63,43° y sobre el mismo se proyecta una circunferencia se transforma en una elipse con esta relación entre sus ejes; de igual forma 58,28º genera una elipse como la de la cara amarilla, un plano de pendiente de 31,72° genera en el perfil una elipse como la de la cara naranja, etc.
Dado un cubo en el que se da en la proyección en planta S1 con un cono y una esfera huecos. La base del cono es tangente al lado del cuadrado en el que se apoya y las semiesfera tiene por diámetro mayor una circunferencia tangente a otro lado del cuadrado. Se trata de calcular la intersección de ambos huecos dentro de la figura.
Se hace una vista auxiliar A de la figura en planta S1 que va a ser la nueva planta y hacemos otra vista B proyectada de la figura, que corresponde a un nuevo alzado.
Dibujamos sobre la vista A un plano de corte perpendicular al eje del cono que secciona a la esfera y el cono según dos circunferencias de diámetros m1 x1, respectivamente.
Construimos la proyección en el alzado de las dos circunferencias que corresponden a estos diámetros por los centros respectivos del cono y de la semiesfera sobre esa vista. Estas dos circunferencias se cortan en un par de puntos que son los puntos de la intersección de la curva, por ejemplo el punto P2, que proyectamos sobre la planta y obtenemos su proyección P1.
Para obtener nuevos puntos de la curva se siguen haciendo planos perpendiculares al eje del cono que cortan nuevamente a las dos figuras según dos circunferencias en cuyos puntos de intersección tenemos más puntos de la curva.
En la figura podemos observar tres vistas de la pieza en planta, alzado y perfil y otras dos nuevas vistas en diédrico con una posición oblicua del cubo. Tenemos una última proyección axonométrica de la figura en la que se percibe la intersección de las semiesfera hueca con el cono hueco dentro del cubo.
En la figura observamos la intersección de un cono y de un cilindro, por uno de los lados tenemos un caso sencillo de una hipérbola, ya que es la intersección de un plano vertical correspondiente a la base del cilindro con el cono. Por otro lado tenemos la intersección de la superficie cilíndrica con la cónica, que genera una curva alabeada.
Para calcular la intersección de ambas superficies pasamos planos horizontales que cortan ambas figuras, en el caso del cono la sección de cada plano es una circunferencia y en el del cilindro son dos rectas de punta. La intersección de cada circunferencia con cada par de rectas determina los puntos de intersección de la superficie cilíndrica y cónica. Como ejemplo podemos observar la intersección de la circunferencia m con la recta de punta t determina B, punto de intersección de la curva alabeada de ambas superficies.
Podemos observar un cono al que se le han restado otros dos conos, uno de ellos tiene el eje en el mismo plano que el cono dado, mientras que el otro lo tiene paralelo.
Los dos planos g j se cortan en una recta a que pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante. Para determinar la intersección de ambos, prolongamos las trazas horizontales de ambos y obtenemos el punto de intersección P sobre el plano horizontal.
Prolongamos las trazas verticales de los planos hasta que se cortan en el punto O sobre el plano vertical. La recta que pasa por ambos puntos es la de intersección de los dos planos. Si representamos la tercera proyección en el perfil podemos observar que la intersección de las dos trazas determina M. Los 3 puntos POM, por pertenecer a ambos planos y estar en la recta de intersección están alineados.
Tenemos los dos planos g j de color azul determinados por las trazas g1 g2 j1 j2. Prolongamos la traza horizontal g1 del plano g hasta que corta a la traza horizontal j1 del plano j, obteniendo un punto de intersección P1 sobre el plano horizontal.
Prolongamos las trazas verticales de ambos planos g2 j2 y en su intersección O2 obtenemos un punto de la recta de intersección a sobre el plano vertical. Este punto O2 lo proyectamos sobre el perfil obteniendo O3.
Tenemos que la recta pasa sobre el plano horizontal por P1 y por el plano vertical por O2, proyectamos estos puntos sobre la línea de tierra obtenemos P2 O2, respectivamente. Los proyectamos también sobre el perfil para obtener la tercera proyección de los mismos P3 O3. La recta de intersección en su proyección horizontal a1 pasa por los puntos P1 O1, en su proyección vertical pasa por los puntos P2 O2. En su proyección en el perfil pasa por O3 y por el punto final del segmento d2, que es igual al alejamiento d1, esto es, la distancia del punto P1 al plano vertical.
De esta manera tenemos las tres proyecciones de la recta a (en el dibujo aparecen en color rojo), recta que pasa por el segundo, tercero y cuarto cuadrante.
Intersección de 2 figuras planas
Para calcular la intersección de dos triángulos se hace uso de un plano auxiliar horizontal alfa que los corta según las rectas a b, la intersección M de a b es un punto de la línea de intersección de los dos triángulos.
Operando de igual forma con otro plano beta, corta a los triángulos en c d , la intersección de c d es N.
MN es por tanto la recta de intersección de los dos planos.
El plano horizontal de mayor cota corta al triángulo amarillo según AB, al rojo según MN, la intersección de AB y MN es I. Bajamos las proyecciones de A2, B2, M2,…al contorno de los triángulos en planta, obteniendo A1, B1,…etc.
El plano horizontal de menor cota corta al triángulo amarillo según KL, al rojo según YZ, la intersección de KL e YZ es J. Bajamos igualmente las proyecciones de estos puntos a la planta.
La recta YJ es la intersección de los dos triángulos. El segmento correspondiente a la intersección está comprendido en la parte común a los dos triángulos, esto es, La intersección de IJ con el contorno del triángulo rojo.
Intersección de distintos elementos
Intersección de recta y cono. Se coge un punto cualquiera P sobre la recta y se une con V. La intersección de VP con la base del cono (plano azul) es P’.
Se une P’ con M (punto de intersección de la recta dada a con el plano azul donde se apoya el cono) obteniendo la recta g.
Las rectas g a determinan el plano de corte que pasa por V.
Si unimos los puntos de intersección de g con la base del cono (D’ C’) con V obtenemos DC en la intersección con a. DC son los puntos de intersección de a con el cono.
En diédrico. Uniendo V1 con P1 (punto aleatorio de la recta azul) obtenemos T2 en el alzado, lo bajamos con una vertical a la planta y obtenemos T1sobre la recta V- P1.
T1-B1 es la recta transformada de B1-P1 por proyección desde V.
B1-T1 corta a la base del cono en H1 K1. Estos puntos se unen con V1 obteniendo en la intersección con B1-P1 los puntos de intersección de la recta con el cono.
La superficie rayada es la sección del plano que pasa por la recta y por el vértice del cono V.
Para calcular la intersección de una recta m con una pirámide se puede hacer un plano vertical v que pase por la recta y que corta a la figura según el polígono abc. La intersección del polígono y la recta determina la intersección de la recta m y la pirámide.
Se puede operar en sistema diédrico como se hizo en el ejercicio del cono:
Uniendo V1 con T1 (punto aleatorio de la recta dada) obtenemos I2 en el alzado, lo bajamos con una vertical a la planta y obtenemos I1sobre la recta V1- T1.
P1-I1 es la recta transformada de T1-P1 por proyección desde V.
P1-I1 corta a la base del cono en N1 M1. Estos puntos se unen con V1 obteniendo en la intersección con T1-P1 los puntos de intersección de la recta A1 B1 con la pirámide.
La superficie rayada es la sección del plano que pasa por la recta y por el vértice del cono V.
La intersección de una recta y una pirámide. Como el plano es proyectante vertical (de canto), la traza vertical del plano determina en su intersección con las aristas de la pirámide los puntos de corte en el alzado. Estos puntos se bajan a la planta para dibujar el triángulo de sección. En los dos puntos de corte del triángulo con la línea dada tenemos la intersección con la figura.
Un plano vertical corta a la figura en planta en los puntos MNÑO, se suben al alzado y en la intersección del polígono que forman con la recta dad tenemos los puntos de entrada y salida de la recta en la figura.
Un plano horizontal corta a la figura según una sección idéntica a la base de la figura, ya que el prisma se forma por desplazamiento o extrusión de la base. Los puntos de corte obtenidos en alzado se bajan a la vista en planta obteniendo la forma idéntica a la base.
La intersección de una recta b con un prisma se puede obtener al trazar por un punto cualquiera del mismo Y una paralela a la dirección del eje del prisma (recta a).
La recta a corta en el alzado en P2, se baja a la planta (P1). Unimos P1 con B1 (intersección de b con el plano de la planta). P1-B1 corta a la base de la figura en dos puntos por los que se trazan paralelas a la recta a. La intersección de las paralelas con b define los puntos MN, puntos de intersección de la recta con el prisma.
El procedimiento para calcular la intersección de una recta con una figura es trazar por un punto de ella una recta a paralela a la dirección b de la figura. Donde la recta a corta al plano del suelo se une con el punto de intersección de la recta con el suelo. En los puntos de corte de esta recta con la base de la figura hacemos dos rectas de dirección b que cortan a la recta dada en los puntos de corte buscados.
La intersección de cualquier figura plana con una recta se puede obtener como intersección de la recta con la sección plana que produce el plano que incide en la recta.
Intersección de superficies radiadas
Para hallar la intersección de dos superficies que se cortan, se coge un plano auxiliar, este plano corta a las dos superficies en dos curvas planas, la intersección de las dos curvas planas nos da los puntos de intersección de la superficies por ese plano. Para calcular nuevos puntos de la intersección hay que pasar nuevos planos cortantes por las dos superficies.
Es una condición necesaria pasar los planos de forma que seccionen a las superficies en curvas fáciles de dibujar.
Existen distintos casos en la intersección de superficies, éstos se pueden clasificar en:
1- Mordedura. (M) En la intersección por mordedura cada superficie corta en parte a la otra, por regla general la curva de intersección es alabeada, que quiere decir que sus puntos no están sobre un plano.
2-Penetración. (P) En la penetración una superficie entra dentro de la otra y la atraviesa completamente, hay por tanto una curva de entrada y otra de salida.
3-Penetración tangencial. (PT) Se da cuando las dos curvas de entrada y salida de la superficie son tangentes en un punto. Si trazamos las dos rectas tangentes a las curvas por ese punto determinamos un plano que es tangente a las dos superficies.
4-Penetración máxima, (PM) las curvas de intersección de entrada y salida tienen dos puntos en común, con lo que se penetran recíprocamente.
Mordedura:
La intersección de dos figuras de ejes que se cruzan se obtiene trazando por el vértice V de una de ellas una paralela “a” a la dirección de la otra. Por a trazaremos distintos planos que corten a las dos figuras, así, el plano que pasa por a y es tangente al cilindro corta a las dos figuras según las rectas b c. Donde el plano d-a corta a la base de la figura: en N hacemos rectas paralelas (b) a la recta a sobre el cilindro. En Ñ unimos los puntos de la base del cono con su vértice V.
La intersección de b c es O, punto de la curva de intersección de las dos superficies. Si trazamos dos planos tangentes a las superficies por b y c se cortan en una recta tangente a las dos en el punto de intersección O.
En sistema diédrico hacemos la recta a por el vértice del cono V. Desde a hacemos planos que corten a las dos figuras. En los puntos de corte de las trazas de esos planos con la base del cilindro (TS), hacemos paralelas a la dirección del cilindro. Donde corte a la base del cono los unimos con el vértice V. La intersección de las rectas produce puntos de la curva de intersección de ambas superficies.
Penetración
El procedimiento es el mismo que el anterior. Por V seguimos la dirección q. Los planos que pasan por q cortan por lo general a las dos superficies en 4 rectas: hujk.
La intersección de uj es T, la de jh es s, la de kh es L, etc.
Los planos de corte que pasan por q seccionan al cilindro siempre mediante generatrices del mismo, esto es, rectas paralelas a su eje. Los planos de corte que pasan por q seccionan al cono siempre mediante generatrices del mismo, esto es, rectas que pasan por su vértice.
Como ejemplo se ha proyectado en diédrico un alzado y perfil y se ha pasado un plano ortogonal al perfil. La dirección del cilindro es una paralela al eje por N2, la del cono es una recta que pasa por M2 hasta el vértice A. La intersección de estas dos direcciones generan el punto V.
Intersección de superficies de revolución de ejes coplanares
Para calcular la intersección de superficies de revolución de ejes a b que se cortan podemos coger esferas que corten a ambas.
La esfera amarilla e cuyo centro C es la intersección de los ejes corta al hiperboloide gris según un plano cuya proyección es la recta r y al pequeño hiperboloide rosa según un plano cuya proyección es la recta z. La intersección de z y r genera una recta cuya proyección es el punto N, punto de la curva de intersección de ambas superficies.
Por regla general para calcular la intersección entre dos superficies se pasa un plano que corte a ambas produciendo dos curvas de intersección. La intersección de esas dos curvas genera 2 puntos de intersección de las dos superficies. Para calcular otros 2 pasamos otro plano paralelo al anterior procediendo de igual forma. Cada plano generará siempre 2 puntos de intersección y la curva pasará por el conjunto de todos los puntos de los planos que seccionan a las dos figuras.
Intersección de una esfera y un prisma recto. Un prisma recto cuyo eje pasa por el centro de la esfera genera como intersección entre los dos cuerpos una figura cuya planta es un cuadrado y cuyo alzado tiene cuatro circunferencias.
Una vista auxiliar muestra que la intersección de los dos sólidos produce una circunferencia concéntrica al contorno de la esfera.
Un objeto formado por la intersección de dos cilindros de igual diámetro tiene por proyecciones en planta y alzado circunferencias, mientras que en el perfil se percibe la intersección de los dos cilindros de ejes ortogonales entre sí como diagonales de un cuadrado que es el contorno de la figura.
Intersección de las dos superficies cilíndricas del mismo diámetro y de ejes ortogonales del ejercicio anterior y al mismo tiempo de una superficie prismática hexagonal con el eje perpendicular a ambas.
En la figura podemos observar la intersección de un cubo con dos toros. El toro de sección diametral menor provoca en su intersección una “lemniscata” deformada. Mientras que el toro de mayor sección es cortado por un plano tangente a las dos circunferencias de un perfil de la figura, por lo que la intersección del plano y el toro genera dos circunferencias secantes llamadas de Villarceau por ser quien las descubrió por el año 1840, como se puede percibir en la vista auxiliar del perfil proyectado A.
En la figura observamos distintas secciones del toro, en verde la figura parecida a una elipse alargada, en azul la lemniscata (inversa de la hipérbola) y en rosa la sección correspondiente a un plano tangente en el alzado a las dos circunferencias de los extremos de la figura, que genera como sección las dos circunferencias secantes de Villarceau.
Para calcular la intersección de un toro con un plano horizontal hacemos un plano vertical en planta de manera que produce como sección la circunferencia a1. Esta circunferencia se proyecta en el alzado desde el punto N1, que es donde corta a la circunferencia meridiana.
En el alzado la circunferencia a2 corta al extremo de la pieza en el punto P2. Desde el punto P2 bajamos una vertical hasta que corte a la circunferencia a1 en P1.
P1 es un punto de la curva sección del toro con forma de infinito llamada lemniscata de Bernoulli.
Para calcular la intersección del cono con los dos cilindros, se hacen dos secciones planas en el alzado m n. Éstas secciones son dos circunferencias que proyectamos a la planta. La intersección de estas dos circunferencias con el contorno de los dos cilindros genera P1 R1 que proyectamos al alzado y en la intersección con las circunferencias m n, respectivamente, obtenemos P2 R2, puntos de de intersección de la curva.
Para calcular la intersección del cono y cilindro se hace en el alzado una generatriz que va del vértice V2 al punto P2 de la circunferencia de la base. Ésta generatriz corta en el alzado al cilindro en el punto I2 desde el que hacemos una vertical que corta a la generatriz en la planta en el punto I1. Para obtener más puntos, de forma análoga se hacen nuevas generatrices hasta la base y donde corte de la circunferencia en el alzado se baja el punto de intersección hasta que corte a la generatriz en la planta.
Para calcular la intersección del cono y cilindro hacemos un plano horizontal que corta en el alzado al cono según una circunferencia azul, ésta determina en la intersección con el cilindro M2 N2 en el alzado. Se bajan dos rectas verticales a b hasta que corte en la proyección en planta de la circunferencia sección del cono en los puntos M1 N1. Estos puntos corresponden a la curva de intersección del cilindro y el cono. Para obtener nuevos puntos se hacen nuevos planos horizontales que corten al cono en la proyección vertical, en cuyos puntos se bajan verticales hasta que corten a la circunferencia sección de la proyección horizontal.
Para calcular la intersección de la esfera con el cilindro hacemos planos horizontales que cortan en el alzado a las esferas según circunferencias cuyas proyecciones son las rectas a 2 b2.
Las circunferencias de sección en planta cortan al cilindro en los puntos P1 R1, en cuyas verticales determinan en el alzado con la intersección de a2 b2, puntos de la curva de intersección del cilindro y la esfera.
Para calcular la intersección de un toro y un cilindro pasamos un plano horizontal que corta al toro en el alzado según las circunferencias amarilla y azul. Estas circunferencias se proyectan en planta mediante la corona circular comprendida entre los puntos N1 M1. En el perfil observamos que el cilindro corta al toro en el punto A3 que proyectamos a la planta obteniendo el punto A1, este es un punto de la intersección del cilindro con el toro. Para obtener otro punto en la misma recta paralela a la línea de tierra que pasa por el punto A1 observamos que corta a la circunferencia azul en el punto B1.
Intersecciones de figuras aplicando la diferencia entre ellas. La ventaja que tiene aplicar la diferencia entre dos figuras que se intersecan es que permite ver la inscripción de una otra sin necesidad de que aparezcan ambas de forma manifiesta.
En la figura se ha calculado la diferencia entre un dodecaedro regular y un cubo. De esta forma se ve una posible inscripción del cubo dentro del dodecaedro en la que los vértices del cubo ABCD coinciden con vértices del dodecaedro regular.
En cada arista del cubo se apoyan las diagonales de cada pentágono regular del dodecaedro.
Al practicar el hueco cúbico dentro del dodecaedro, como las aristas del cubo inciden en las diagonales de los pentágonos, esto es, en el dodecaedro regular, se tiene que las aristas del cubo son vistas de forma continua en las proyecciones diédricas.
Como el hueco cúbico corta las caras y vértices del dodecaedro, tenemos que el dodecaedro se transforma en seis prismas en forma de tejados a cuatro aguas.
Se han practicado dos cortes en la figura que dejan mostrar el interior de los lados del cubo, en el corte B-B el plano pasa por la diagonal del cubo. En el corte C-C EL plano es paralelo a una arista del cubo.
En este ejercicio se ha practicado la diferencia de un dodecaedro regular y una esfera, ambos concéntricos. Como el dodecaedro regular es un poliedro regular se tiene que todos los vértices equidistan del centro y como toda sección de la esfera por un plano es una circunferencia, se tiene que cada cara del dodecaedro regular tendrá un hueco centrado en forma de circunferencia.
Las tres vistas del dodecaedro en planta, alzado y perfil son iguales aunque giradas 90º. La vista auxiliar en la dirección B genera una cara del poliedro en verdadera magnitud. Para calcular la excentricidad de las elipses de las caras alternas, en la proyección DD se dibuja la esfera y se marcan los puntos de corte MN sobre el poliedro. Estos puntos se proyectan sobre la vista auxiliar B. La distancia MN sobre esta vista es el eje menor de la elipse, mientras que el mayor (en rojo) es igual al diámetro de la circunferencia en verdadera magnitud (en verde).
Sabemos que un plano que tiene una pendiente de 63,43° y sobre el mismo se proyecta una circunferencia se transforma en una elipse con esta relación entre sus ejes; de igual forma 58,28º genera una elipse como la de la cara amarilla, un plano de pendiente de 31,72° genera en el perfil una elipse como la de la cara naranja, etc.
Dado un cubo en el que se da en la proyección en planta S1 con un cono y una esfera huecos. La base del cono es tangente al lado del cuadrado en el que se apoya y las semiesfera tiene por diámetro mayor una circunferencia tangente a otro lado del cuadrado. Se trata de calcular la intersección de ambos huecos dentro de la figura.
Se hace una vista auxiliar A de la figura en planta S1 que va a ser la nueva planta y hacemos otra vista B proyectada de la figura, que corresponde a un nuevo alzado.
Dibujamos sobre la vista A un plano de corte perpendicular al eje del cono que secciona a la esfera y el cono según dos circunferencias de diámetros m1 x1, respectivamente.
Construimos la proyección en el alzado de las dos circunferencias que corresponden a estos diámetros por los centros respectivos del cono y de la semiesfera sobre esa vista. Estas dos circunferencias se cortan en un par de puntos que son los puntos de la intersección de la curva, por ejemplo el punto P2, que proyectamos sobre la planta y obtenemos su proyección P1.
Para obtener nuevos puntos de la curva se siguen haciendo planos perpendiculares al eje del cono que cortan nuevamente a las dos figuras según dos circunferencias en cuyos puntos de intersección tenemos más puntos de la curva.
En la figura podemos observar tres vistas de la pieza en planta, alzado y perfil y otras dos nuevas vistas en diédrico con una posición oblicua del cubo. Tenemos una última proyección axonométrica de la figura en la que se percibe la intersección de las semiesfera hueca con el cono hueco dentro del cubo.
En la figura observamos la intersección de un cono y de un cilindro, por uno de los lados tenemos un caso sencillo de una hipérbola, ya que es la intersección de un plano vertical correspondiente a la base del cilindro con el cono. Por otro lado tenemos la intersección de la superficie cilíndrica con la cónica, que genera una curva alabeada.Para calcular la intersección de ambas superficies pasamos planos horizontales que cortan ambas figuras, en el caso del cono la sección de cada plano es una circunferencia y en el del cilindro son dos rectas de punta. La intersección de cada circunferencia con cada par de rectas determina los puntos de intersección de la superficie cilíndrica y cónica. Como ejemplo podemos observar la intersección de la circunferencia m con la recta de punta t determina B, punto de intersección de la curva alabeada de ambas superficies.
Podemos observar un cono al que se le han restado otros dos conos, uno de ellos tiene el eje en el mismo plano que el cono dado, mientras que el otro lo tiene paralelo.
Para calcular la intersección de los dos conos que tienen ejes coplanarios, se hace una esfera f con el centro en la intersección de los ejes de los conos y que corta a ambos según dos circunferencias a b, cuya representación en el alzado son dos rectas que se cortan en un punto P, este punto es el de la curva de intersección de ambas superficies. Para determinar nuevos puntos se hace una esfera mayor o menor con el mismo centro que corta a ambos conos según dos circunferencias que se cortan en una recta cuya representación en el alzado es un punto, (por ser una recta de punta), y éste es un punto de la curva de intersección en el alzado.
Para calcular la intersección entre los dos conos de ejes de revolución paralelos, se pasan planos verticales que corten ambos en el alzado según dos circunferencias que se transforman en rectas. Proyectamos estas circunferencias sobre la planta y observamos en la intersección de las mismas un par de puntos de la intersección que son en realidad puntos de la curva de intersección de los dos conos. Éstos: se suben al alzado obteniendo la curva de intersección de ambas superficies, sobre el alzado son puntos coincidentes por ser rectas de punta, esto es, rectas perpendiculares al plano vertical.
Para calcular la intersección entre los dos conos de ejes de revolución paralelos, se pasan planos verticales que corten ambos en el alzado según dos circunferencias que se transforman en rectas. Proyectamos estas circunferencias sobre la planta y observamos en la intersección de las mismas un par de puntos de la intersección que son en realidad puntos de la curva de intersección de los dos conos. Éstos: se suben al alzado obteniendo la curva de intersección de ambas superficies, sobre el alzado son puntos coincidentes por ser rectas de punta, esto es, rectas perpendiculares al plano vertical.
Paralelismo
Si 2 rectas son paralelas sus proyecciones también lo son, la recíproca no es cierta, el hecho de que sus proyecciones sean paralelas no significa que lo sean. Taxativamente son paralelas si sus proyecciones son paralelas sobre los tres planos de proyección.
Si 2 planos son paralelos sus trazas son paralelas. De igual forma taxativamente son paralelos cuando sus trazas son paralelas en los tres planos de proyección.
Una recta es paralela a un plano cuando existe en ese plano una recta paralela a ella.
Dos rectas AB y CD son paralelas por serlo sus proyecciones. En este caso no es necesaria una tercera proyección por ser oblicuas: las rectas oblicuas sólo necesitan dos proyecciones para ser paralelas.
Las rectas de perfil necesitan tener las 3 proyecciones paralelas para verificar que lo son: observamos que las proyecciones en planta y alzado de las rectas son paralelas pero en estas rectas no es condición suficiente, pues las proyecciones del perfil no lo son. De forma genérica y eliminando excepciones podemos decir que para que dos rectas sean paralelas deben tener las tres proyecciones paralelas.
Si dos rectas son paralelas tienen sus proyecciones paralelas, aunque la recíproca no sea siempre cierta. Si dos rectas son paralelas determinan un plano, por tanto las trazas de las rectas deben estar en las trazas de un plano.
Una recta r es paralela a un plano si existe en él una recta s paralela a ella.
La recta a no es paralela al plano beta por que en él no existe una recta paralela a ella.
La recta b se confirma en la proyección del perfil que no es paralela a ella pues b3 no es paralela a a3.
Dada una recta s construir un plano paralelo a ella y que pase por otra recta dada r.
Por un punto P de r se hace una paralela a s. La recta r y la paralela a s determinan el nuevo plano.
Dado el plano alfa construir una recta paralela al mismo. Se hace una recta s perteneciente al plano, esto es, que tenga las trazas en las trazas del plano y a continuación se hace una recta r paralela a la primera (que tenga las proyecciones paralelas a ella).
Dos planos (verde y rojo) son paralelos por tener sus trazas paralelas y dos rectas a b de los planos son paralelas por tener las proyecciones paralelas.
Dado un plano alfa, construir una recta paralela al plano que pase por un punto P y un plano beta paralelo al mismo. Como las trazas de un plano son rectas del plano, la forma más sencilla es hacer rectas paralelas a las trazas. Por P hacemos una recta a paralela a alfa1, por su traza Vr pasamos la traza del plano beta2 paralelo a alfa2 y donde corte a la línea de tierra hacemos una recta paralela a alfa 1, obteniendo la otra traza del nuevo plano beta.
Dos planos son paralelos si tienen sus trazas paralelas. Como observamos en el dibujo las trazas de los planos son paralelas en planta y alzado sin serlo ellos, por tanto la condición necesaria y suficiente para que lo sean es que lo sean en los 3 planos de proyección. Los planos paralelos a la línea de tierra para ser paralelos deben tener las 3 trazas paralelas.
Construir un plano f paralelo a otro dado n y que pase por un punto P. Por P1 hacemos una recta paralela a hn y donde corte a la línea de tierra levantamos una vertical hasta que corte a una horizontal por P2. En este punto pasa vf paralelo a vn.
Donde vf corta a la línea de tierra hacemos una paralela hf a hn. El plano f es paralelo a n y contiene a P.
Dado un plano beta, construir un plano paralelo a él que pase por dos rectas paralelas a las trazas del plano.
Se hace un plano cualquiera paralelo a él (phi) y que va ser la solución y dos rectas paralelas a las trazas (s r), frontal y horizontal, respectivamente.
Como s r se cortan por estar en el mismo plano, su punto de intersección A tiene sus proyecciones en la intersección de las proyecciones de las rectas.
Si 2 planos son paralelos sus trazas son paralelas. De igual forma taxativamente son paralelos cuando sus trazas son paralelas en los tres planos de proyección.
Una recta es paralela a un plano cuando existe en ese plano una recta paralela a ella.
Dos rectas AB y CD son paralelas por serlo sus proyecciones. En este caso no es necesaria una tercera proyección por ser oblicuas: las rectas oblicuas sólo necesitan dos proyecciones para ser paralelas.
Las rectas de perfil necesitan tener las 3 proyecciones paralelas para verificar que lo son: observamos que las proyecciones en planta y alzado de las rectas son paralelas pero en estas rectas no es condición suficiente, pues las proyecciones del perfil no lo son. De forma genérica y eliminando excepciones podemos decir que para que dos rectas sean paralelas deben tener las tres proyecciones paralelas.
Si dos rectas son paralelas tienen sus proyecciones paralelas, aunque la recíproca no sea siempre cierta. Si dos rectas son paralelas determinan un plano, por tanto las trazas de las rectas deben estar en las trazas de un plano.
Una recta r es paralela a un plano si existe en él una recta s paralela a ella.
La recta a no es paralela al plano beta por que en él no existe una recta paralela a ella.
La recta b se confirma en la proyección del perfil que no es paralela a ella pues b3 no es paralela a a3.
Dada una recta s construir un plano paralelo a ella y que pase por otra recta dada r.
Por un punto P de r se hace una paralela a s. La recta r y la paralela a s determinan el nuevo plano.
Dado el plano alfa construir una recta paralela al mismo. Se hace una recta s perteneciente al plano, esto es, que tenga las trazas en las trazas del plano y a continuación se hace una recta r paralela a la primera (que tenga las proyecciones paralelas a ella).
Dos planos (verde y rojo) son paralelos por tener sus trazas paralelas y dos rectas a b de los planos son paralelas por tener las proyecciones paralelas.
Dado un plano alfa, construir una recta paralela al plano que pase por un punto P y un plano beta paralelo al mismo. Como las trazas de un plano son rectas del plano, la forma más sencilla es hacer rectas paralelas a las trazas. Por P hacemos una recta a paralela a alfa1, por su traza Vr pasamos la traza del plano beta2 paralelo a alfa2 y donde corte a la línea de tierra hacemos una recta paralela a alfa 1, obteniendo la otra traza del nuevo plano beta.
Dos planos son paralelos si tienen sus trazas paralelas. Como observamos en el dibujo las trazas de los planos son paralelas en planta y alzado sin serlo ellos, por tanto la condición necesaria y suficiente para que lo sean es que lo sean en los 3 planos de proyección. Los planos paralelos a la línea de tierra para ser paralelos deben tener las 3 trazas paralelas.
Construir un plano f paralelo a otro dado n y que pase por un punto P. Por P1 hacemos una recta paralela a hn y donde corte a la línea de tierra levantamos una vertical hasta que corte a una horizontal por P2. En este punto pasa vf paralelo a vn.
Donde vf corta a la línea de tierra hacemos una paralela hf a hn. El plano f es paralelo a n y contiene a P.
Dado un plano beta, construir un plano paralelo a él que pase por dos rectas paralelas a las trazas del plano.
Se hace un plano cualquiera paralelo a él (phi) y que va ser la solución y dos rectas paralelas a las trazas (s r), frontal y horizontal, respectivamente.
Como s r se cortan por estar en el mismo plano, su punto de intersección A tiene sus proyecciones en la intersección de las proyecciones de las rectas.
Distancias
La distancia en geometría es sinónimo de menor distancia. Para calcular la distancia entre dos puntos se hace un segmento que una los dos y a continuación se abate para observar su verdadera magnitud.
La distancia de un punto a un plano se obtiene haciendo una perpendicular desde el punto al plano hasta que lo corte. La distancia de este punto de intersección y el dado es la solución. Si la distancia no es paralela a uno de los planos de proyección, se abate hasta obtener su verdadera magnitud.
La distancia entre dos planos paralelos se obtiene haciendo una perpendicular común que corta a los dos en dos puntos, la distancia entre ellos es la solución.
La distancia entre dos rectas paralelas se obtiene haciendo un plano perpendicular a ambas y calculando los puntos de intersección con ellas. La distancia entre esos dos puntos de intersección es la solución. También se puede calcular pasando un plano por ellas y abatirlo para observar en verdadera magnitud cuanto mide una perpendicular común a ambas.
Para calcular la distancia de una recta paralela a un plano se hace una perpendicular desde un punto de la recta al plano y donde lo corta obtenemos otro punto. La solución es la distancia entre los dos puntos.
Para calcular la distancia entre dos rectas m n que se cruzan, se pasa un plano alfa (en verde) por una de ellas (por ejemplo la recta m) paralelo a la recta n. Desde la recta n se hace una perpendicular t por un punto cualquiera de ella F al plano, ésta recta perpendicular t corta al plano en un punto K. Por el punto K que se traza una recta paralela z a n. En la intersección P de z m se hace una paralela u a t hasta que corte a n en J.
La distancia P J es la solución, a partir de aquí el ejercicio se reduce a la distancia entre estos dos puntos.
El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico.
Para calcular la distancia entre dos puntos A B se hace un segmento que una los dos y a continuación se abate para observar su verdadera magnitud: se toma la altura (cota) del punto B en donde está en verdadera magnitud, en el alzado –por ejemplo a partir del punto A- y se hace una perpendicular por B1 en planta colocando la cota a partir de ese punto, así obtenemos el abatimiento de B que es (B).
La distancia A (B) es la real que hay entre los dos puntos.
La distancia de un punto P a un plano alfa se obtiene haciendo una perpendicular desde el punto al plano hasta que lo corta en M, para ello pasamos un plano beta por P y calculamos la recta de intersección de alfa y beta, ésta recta corta a la perpendicular desde P en M. La distancia de este punto M de intersección y el dado P es la solución.
La distancia en geometría es sinónimo de menor distancia, por lo que la distancia de un punto P a un plano es la perpendicular a él.
La recta PI es perpendicular a un plano a si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. Para calcular la intersección de la recta con el plano, se pasa un plano cualquiera b por la recta, este plano b corta al plano en un punto I. La distancia PI es la que hay entre el punto y el plano.
La distancia de un punto A a un plano marrón phi se obtiene haciendo una perpendicular r desde el punto al plano hasta que lo corta en la recta s en el punto P. La recta s es la de intersección del plano dado y beta (plano perpendicular al dado por A).
A P es la distancia del punto al plano que se abate para ver su verdadera magnitud (en rojo).
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos (en el dibujo de color azul) se hace una recta perpendicular a ambos, se calcula la intersección de la recta con los dos planos azules y la distancia entre los dos puntos de intersección es la distancia entre los dos planos. A partir de aquí el ejercicio se reduce a la distancia entre los 2 puntos de la recta que corta a los planos.
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas (en el dibujo de color azul y rojo), se hace un plano perpendicular a ambas, esto es el que tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones de ambas (en el dibujo de color ocre). Se calcula la intersección del plano con las dos rectas y obtenemos dos puntos, cuyo segmento que determinan es la distancia entre las dos rectas.
Otro ejemplo como el anterior, dos rectas paralelas en azul y rojo r s, se trata de calcular la distancia entre ellas.
Se hace un plano perpendicular a ambas, éste tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones de las rectas, a continuación se calcula la intersección de este plano con las rectas. Los puntos de intersección P D determinan la distancia entre ellas.
Para calcular la distancia de un punto a una recta (en el dibujo de color violeta), se pasa por el punto P un plano perpendicular a la recta (en el dibujo de color azul). Este plano azul corta la recta violeta en un punto, la distancia de éste al punto dado (en el dibujo de color verde) es la distancia entre el punto y la recta.
La distancia de un punto a un plano se obtiene haciendo una perpendicular desde el punto al plano hasta que lo corte. La distancia de este punto de intersección y el dado es la solución. Si la distancia no es paralela a uno de los planos de proyección, se abate hasta obtener su verdadera magnitud.
La distancia entre dos planos paralelos se obtiene haciendo una perpendicular común que corta a los dos en dos puntos, la distancia entre ellos es la solución.
La distancia entre dos rectas paralelas se obtiene haciendo un plano perpendicular a ambas y calculando los puntos de intersección con ellas. La distancia entre esos dos puntos de intersección es la solución. También se puede calcular pasando un plano por ellas y abatirlo para observar en verdadera magnitud cuanto mide una perpendicular común a ambas.
Para calcular la distancia de una recta paralela a un plano se hace una perpendicular desde un punto de la recta al plano y donde lo corta obtenemos otro punto. La solución es la distancia entre los dos puntos.
Para calcular la distancia entre dos rectas m n que se cruzan, se pasa un plano alfa (en verde) por una de ellas (por ejemplo la recta m) paralelo a la recta n. Desde la recta n se hace una perpendicular t por un punto cualquiera de ella F al plano, ésta recta perpendicular t corta al plano en un punto K. Por el punto K que se traza una recta paralela z a n. En la intersección P de z m se hace una paralela u a t hasta que corte a n en J.La distancia P J es la solución, a partir de aquí el ejercicio se reduce a la distancia entre estos dos puntos.
El ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico.
Para calcular la distancia entre dos puntos A B se hace un segmento que una los dos y a continuación se abate para observar su verdadera magnitud: se toma la altura (cota) del punto B en donde está en verdadera magnitud, en el alzado –por ejemplo a partir del punto A- y se hace una perpendicular por B1 en planta colocando la cota a partir de ese punto, así obtenemos el abatimiento de B que es (B).La distancia A (B) es la real que hay entre los dos puntos.
La distancia de un punto P a un plano alfa se obtiene haciendo una perpendicular desde el punto al plano hasta que lo corta en M, para ello pasamos un plano beta por P y calculamos la recta de intersección de alfa y beta, ésta recta corta a la perpendicular desde P en M. La distancia de este punto M de intersección y el dado P es la solución.
La distancia en geometría es sinónimo de menor distancia, por lo que la distancia de un punto P a un plano es la perpendicular a él.La recta PI es perpendicular a un plano a si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. Para calcular la intersección de la recta con el plano, se pasa un plano cualquiera b por la recta, este plano b corta al plano en un punto I. La distancia PI es la que hay entre el punto y el plano.
La distancia de un punto A a un plano marrón phi se obtiene haciendo una perpendicular r desde el punto al plano hasta que lo corta en la recta s en el punto P. La recta s es la de intersección del plano dado y beta (plano perpendicular al dado por A).A P es la distancia del punto al plano que se abate para ver su verdadera magnitud (en rojo).
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos (en el dibujo de color azul) se hace una recta perpendicular a ambos, se calcula la intersección de la recta con los dos planos azules y la distancia entre los dos puntos de intersección es la distancia entre los dos planos. A partir de aquí el ejercicio se reduce a la distancia entre los 2 puntos de la recta que corta a los planos.
Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas (en el dibujo de color azul y rojo), se hace un plano perpendicular a ambas, esto es el que tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones de ambas (en el dibujo de color ocre). Se calcula la intersección del plano con las dos rectas y obtenemos dos puntos, cuyo segmento que determinan es la distancia entre las dos rectas.
Otro ejemplo como el anterior, dos rectas paralelas en azul y rojo r s, se trata de calcular la distancia entre ellas.Se hace un plano perpendicular a ambas, éste tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones de las rectas, a continuación se calcula la intersección de este plano con las rectas. Los puntos de intersección P D determinan la distancia entre ellas.
Para calcular la distancia de un punto a una recta (en el dibujo de color violeta), se pasa por el punto P un plano perpendicular a la recta (en el dibujo de color azul). Este plano azul corta la recta violeta en un punto, la distancia de éste al punto dado (en el dibujo de color verde) es la distancia entre el punto y la recta.
Ángulos
Para calcular el ángulo que forman dos rectas en sistema diédrico se abaten hasta hacerlas coincidir con plano de proyección. El ángulo se define como el menor de los 2 ángulos que forman.
Para calcular el ángulo que forman dos planos se hace un plano perpendicular a ambos (o sea, a su recta de intersección), éste los corta según dos rectas y el ángulo que forman éstas es la solución. A partir de aquí el ejercicio es como el anterior.
Para calcular el ángulo que forman una recta y un plano se toma un punto de la recta y desde la misma se hace una perpendicular al plano. En la intersección de la nueva recta y el plano tenemos un punto que unido al de intersección de la recta dada y el plano obtenemos otra recta. El ángulo que forma esta recta y la dada es la solución.
En el dibujo dos rectas a b se cortan según un ángulo alfa. Se unen las trazas de las rectas a b mediante una recta que es la traza del plano que se va a abatir. El punto de intersección P de las dos rectas al ser abatido caerá en la perpendicular a la traza del plano. El centro del giro para hacer el abatimiento está en el punto O, punto de intersección de la perpendicular que pasa por P y por la traza del plano que contiene a las rectas a b. Al hacer centro en el punto O tomando como radio la distancia OP, hacemos un arco que corta en el plano de la planta en el punto (P). Este punto Abatido lo unimos con las trazas de las rectas a b y nos determina las rectas abatidas (a) (b). Como ese giro no se puede hacer en el espacio en el sistema diédrico, lo hacemos sobre el plano de la planta, para ello hacemos desde el punto que una perpendicular al plano de la planta del dibujo y obtenemos el punto P1. La distancia P-P1 colocamos en la planta a partir del punto P1 y perpendicular a la proyección en planta de la recta OP. Tenemos por tanto que la distancia P-P1 sobre la planta se transforma en la distancia (Pa)-P1. Haciendo centro en el punto O con la distancia O (Pa) hacemos un marco hasta que corta a la línea O-P1 en el punto (P). Unimos este punto con las trazas de las rectas y tenemos las rectas abatidas cuyo ángulo menor es el que forman a b.
Dos rectas oblicuas en sistema diédrico s r, hacemos una línea horizontal en el plano vertical que corta a las mismas según los puntos 1’ 2’, y éste es el nuevo plano horizontal considerado para hacer el abatimiento arriba mencionado.
A partir de aquí se hace un giro del punto de intersección de las dos rectas y obtenemos su abatimiento (A). Uniendo este punto con los puntos 1 2 tenemos las dos rectas abatidas con el ángulo que forman, que es el menor de los dos.
Se trata de calcular el ángulo que forman las rectas b m. Se coge un punto cualquiera de la recta b, por ejemplo el punto P, y se hace una recta paralela a la dada m, por el punto P.
Las dos rectas a b determinan un plano cuya traza horizontal es la recta azul y va a ser el eje del giro del triángulo de lados a b h cuyo ángulo entre las dos rectas aparece en amarillo en planta y alzado.
Al abatir el triángulo tenemos el nuevo triángulo con el ángulo verde que forman las dos rectas en verdadera magnitud.
Ángulo que forma una recta b y un plano alfa. Desde un punto cualquiera de la recta b se hace una perpendicular al plano alfa y corta a éste en el punto P, que unido con el punto I de intersección de la recta b y el plano alfa, tenemos dos rectas: la recta PI y la recta b, el ángulo que forman estas dos rectas es el ángulo que forma el plano alfa y la recta b.
Otro ejemplo como el anterior, una recta a y un plano f, se trata de determinar el ángulo entre ambas. Por un punto cualquiera P de la recta a se hace una perpendicular al plano hasta que lo corta en el punto T. Se une este punto con la intersección de la recta y el plano que es el punto M. El ángulo que forman las rectas: a T-M, es el ángulo que forma la recta y el plano.
Calcular el ángulo que forma la recta a y el plano alfa del sistema diédrico.
Se coge un punto cualquiera de la recta a, por ejemplo el punto P y se hace una recta r perpendicular al plano (la que tiene las proyecciones perpendiculares a las trazas del plano). La recta r corta al plano según el punto M (para calcular la intersección de una recta y un plano se pasa un plano por la recta, se calcula la recta de intersección de los dos planos y su intersección con la recta dada es el punto de intersección de la recta con el plano), que unido a la intersección I de la recta a y el plano alfa, tenemos la recta IM.
El ángulo que forman las rectas MI a, es el ángulo que forma la recta y el plano dados. Partir de aquí el ejercicio se reduce al ángulo entre dos rectas.
Para calcular el ángulo que forman dos planos (en el dibujo de colores azul y rojo) se hace un plano perpendicular a la intersección de los mismos. Este plano corta a los planos dados según dos rectas a b, el ángulo n de estas dos rectas es el ángulo que forman los planos.
Para calcular el ángulo que forman dos planos (en el dibujo de colores azul y rojo) se hace un plano perpendicular a la intersección i de los mismos, este plano por ser perpendicular a la recta i de intersección tiene su traza t perpendicular a la proyección de la recta. Este plano corta a los planos dados según dos rectas a b, para saber el ángulo que forman estas dos rectas, tendremos que abatir las respecto a la traza t del plano que las contiene. El ángulo que forman las dos rectas es el ángulo que forman los planos.
Aquí tenemos el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico. Tenemos que la traza del plano X1 es perpendicular a la recta de intersección a, por tanto al abatir la recta (a) tendremos que hacer una perpendicular a ella desde el punto de intersección de a1 con la traza del plano x1, obteniendo de esta forma el punto P1 que proyectado sobre la recta a1 se transforma en el punto P1’. Si unimos este punto con las trazas de las rectas tenemos dos rectas cuyo ángulo entre ellas es el ángulo entre los dos planos.
Para calcular el ángulo que forman dos planos se hace un plano perpendicular a ambos (o sea, a su recta de intersección), éste los corta según dos rectas y el ángulo que forman éstas es la solución. A partir de aquí el ejercicio es como el anterior.
Para calcular el ángulo que forman una recta y un plano se toma un punto de la recta y desde la misma se hace una perpendicular al plano. En la intersección de la nueva recta y el plano tenemos un punto que unido al de intersección de la recta dada y el plano obtenemos otra recta. El ángulo que forma esta recta y la dada es la solución.
En el dibujo dos rectas a b se cortan según un ángulo alfa. Se unen las trazas de las rectas a b mediante una recta que es la traza del plano que se va a abatir. El punto de intersección P de las dos rectas al ser abatido caerá en la perpendicular a la traza del plano. El centro del giro para hacer el abatimiento está en el punto O, punto de intersección de la perpendicular que pasa por P y por la traza del plano que contiene a las rectas a b. Al hacer centro en el punto O tomando como radio la distancia OP, hacemos un arco que corta en el plano de la planta en el punto (P). Este punto Abatido lo unimos con las trazas de las rectas a b y nos determina las rectas abatidas (a) (b). Como ese giro no se puede hacer en el espacio en el sistema diédrico, lo hacemos sobre el plano de la planta, para ello hacemos desde el punto que una perpendicular al plano de la planta del dibujo y obtenemos el punto P1. La distancia P-P1 colocamos en la planta a partir del punto P1 y perpendicular a la proyección en planta de la recta OP. Tenemos por tanto que la distancia P-P1 sobre la planta se transforma en la distancia (Pa)-P1. Haciendo centro en el punto O con la distancia O (Pa) hacemos un marco hasta que corta a la línea O-P1 en el punto (P). Unimos este punto con las trazas de las rectas y tenemos las rectas abatidas cuyo ángulo menor es el que forman a b.
Dos rectas oblicuas en sistema diédrico s r, hacemos una línea horizontal en el plano vertical que corta a las mismas según los puntos 1’ 2’, y éste es el nuevo plano horizontal considerado para hacer el abatimiento arriba mencionado.
A partir de aquí se hace un giro del punto de intersección de las dos rectas y obtenemos su abatimiento (A). Uniendo este punto con los puntos 1 2 tenemos las dos rectas abatidas con el ángulo que forman, que es el menor de los dos.
Se trata de calcular el ángulo que forman las rectas b m. Se coge un punto cualquiera de la recta b, por ejemplo el punto P, y se hace una recta paralela a la dada m, por el punto P.
Las dos rectas a b determinan un plano cuya traza horizontal es la recta azul y va a ser el eje del giro del triángulo de lados a b h cuyo ángulo entre las dos rectas aparece en amarillo en planta y alzado.
Al abatir el triángulo tenemos el nuevo triángulo con el ángulo verde que forman las dos rectas en verdadera magnitud.
Ángulo que forma una recta b y un plano alfa. Desde un punto cualquiera de la recta b se hace una perpendicular al plano alfa y corta a éste en el punto P, que unido con el punto I de intersección de la recta b y el plano alfa, tenemos dos rectas: la recta PI y la recta b, el ángulo que forman estas dos rectas es el ángulo que forma el plano alfa y la recta b.
Otro ejemplo como el anterior, una recta a y un plano f, se trata de determinar el ángulo entre ambas. Por un punto cualquiera P de la recta a se hace una perpendicular al plano hasta que lo corta en el punto T. Se une este punto con la intersección de la recta y el plano que es el punto M. El ángulo que forman las rectas: a T-M, es el ángulo que forma la recta y el plano.
Calcular el ángulo que forma la recta a y el plano alfa del sistema diédrico.
Se coge un punto cualquiera de la recta a, por ejemplo el punto P y se hace una recta r perpendicular al plano (la que tiene las proyecciones perpendiculares a las trazas del plano). La recta r corta al plano según el punto M (para calcular la intersección de una recta y un plano se pasa un plano por la recta, se calcula la recta de intersección de los dos planos y su intersección con la recta dada es el punto de intersección de la recta con el plano), que unido a la intersección I de la recta a y el plano alfa, tenemos la recta IM.
El ángulo que forman las rectas MI a, es el ángulo que forma la recta y el plano dados. Partir de aquí el ejercicio se reduce al ángulo entre dos rectas.
Para calcular el ángulo que forman dos planos (en el dibujo de colores azul y rojo) se hace un plano perpendicular a la intersección de los mismos. Este plano corta a los planos dados según dos rectas a b, el ángulo n de estas dos rectas es el ángulo que forman los planos.
Para calcular el ángulo que forman dos planos (en el dibujo de colores azul y rojo) se hace un plano perpendicular a la intersección i de los mismos, este plano por ser perpendicular a la recta i de intersección tiene su traza t perpendicular a la proyección de la recta. Este plano corta a los planos dados según dos rectas a b, para saber el ángulo que forman estas dos rectas, tendremos que abatir las respecto a la traza t del plano que las contiene. El ángulo que forman las dos rectas es el ángulo que forman los planos.
Aquí tenemos el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico. Tenemos que la traza del plano X1 es perpendicular a la recta de intersección a, por tanto al abatir la recta (a) tendremos que hacer una perpendicular a ella desde el punto de intersección de a1 con la traza del plano x1, obteniendo de esta forma el punto P1 que proyectado sobre la recta a1 se transforma en el punto P1’. Si unimos este punto con las trazas de las rectas tenemos dos rectas cuyo ángulo entre ellas es el ángulo entre los dos planos.
Perpendicularidad
Si una recta es perpendicular a un plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano. La recíproca no es cierta, que las proyecciones sean perpendiculares no significa que la recta sea perpendicular al plano.
La recíproca es siempre cierta si se cumple que las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano sobre los tres planos de proyección, planta, alzado y perfil.
Todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano, con lo que para hacer un plano perpendicular a otro basta con hacer una recta perpendicular al plano y luego pasar un plano por esa recta, así se tiene que los 2 planos son perpendiculares.
Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano, con lo que dada una recta para hacer una recta perpendicular, hacemos un plano perpendicular a la misma (aquel cuyas trazas sean perpendiculares a sus proyecciones) e incidimos cualquier recta sobre el plano. La recta del plano será siempre perpendicular a la recta dada.
En la figura de la izquierda, una recta a es perpendicular a un plano alfa por tanto lo es a todas las rectas del plano: b, c, d.
La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular al plano es que sea perpendicular a 2 rectas no paralelas del plano (ya que puede ser perpendicular a 2 paralelas del plano sin serlo al plano).
En la figura del centro, una recta a es perpendicular a un plano alfa y por tanto a todas las rectas del plano: b, c, d.
Como la recta a es perpendicular al plano sus proyecciones a1 a2 son perpendiculares a las trazas del plano.
Cualquier plano que pase por a, beta por ejemplo, es perpendicular a alfa.
En la figura de la derecha se pasa un plano cualquiera beta por la recta a perpendicular al plano alfa, éste plano beta es perpendicular a alfa por incidir en la recta a.
En la figura del centro, una recta a es perpendicular a un plano alfa y por tanto a todas las rectas del plano: b, c, d.
Como la recta a es perpendicular al plano sus proyecciones a1 a2 son perpendiculares a las trazas del plano.
Cualquier plano que pase por a, beta por ejemplo, es perpendicular a alfa.
En la figura de la derecha se pasa un plano cualquiera beta por la recta a perpendicular al plano alfa, éste plano beta es perpendicular a alfa por incidir en la recta a.
En sistema diédrico, una recta es perpendicular a un plano por lo que sus proyecciones r1 r2 son perpendiculares a las trazas del plano. En el dibujo la recta perpendicular incide al mismo tiempo por un punto A.
Si un plano alfa es perpendicular a una recta a, todas las rectas de ese plano (como b), son perpendiculares a la recta a. Por tanto para hacer una recta perpendicular a la recta a, basta con hacer un plano perpendicular a ella y una recta cualquiera de ese plano.
Para hacer un plano perpendicular a una recta oblicua por un punto P, se hace una recta cualquiera (en azul) cuya proyección en planta pase por P1 y sea perpendicular a r1, donde corta a la línea de tierra se hace una vertical hasta que corta a la proyección horizontal de la recta por P2. En ese punto de intersección se hace la traza del plano beta 2 perpendicular a r2 y donde corta a la línea de tierra se hace una perpendicular beta1 a r1. El plano beta es perpendicular a la recta r y pasa por P.
Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano, la recíproca no siempre es cierta. La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas no paralelas del plano.
En el dibujo podemos verificar que esto es cierto, tenemos una recta amarilla b que es perpendicular al plano y por tanto a todas las rectas del plano, entre las que se encuentran las dos rectas paralelas m n. Observamos además una recta roja a perpendicular a dos rectas paralelas del plano que sin embargo no es perpendicular al plano. Esto se podría arreglar haciendo que estas dos rectas no fueran paralelas con lo que tendríamos que toda recta perpendicular a dos rectas no paralelas sí sería perpendicular al plano que las contiene. De esta forma la recta roja se confirmaría que no cumpliría nunca la condición de ser perpendicular a dos rectas no paralelas del plano y que por tanto no es perpendicular al plano.
En las proyecciones en planta y alzado de la recta roja también podemos verificar que por ser una recta de perfil y pese a cumplir la condición de perpendicular (que es que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas del plano), observamos que la recta no es perpendicular al plano, por lo que para que se cumpla que la recta sea perpendicular al plano en el caso de la recta de perfil tendremos que exigir además que se cumpla la condición de perpendicularidad en el plano de perfil, por tanto las tres proyecciones de la recta tendrían que ser perpendiculares a las tres trazas del plano. En consecuencia podemos concluir que, taxativamente, si esa situación se da en los tres planos de proyección, esto es, que las tres proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas del plano, tenemos que la recta es siempre perpendicular al plano, sin excepciones.
Para construir un plano alfa perpendicular a un plano oblicuo beta, se hace una recta a perpendicular al mismo que tiene por tanto sus proyecciones a1 a2 perpendiculares a sus trazas. A continuación se hace cualquier plano alfa que incida en esta recta (en el dibujo un plano vertical) y tenemos que éste es perpendicular al plano dado, ya que si tomamos una recta perpendicular a un plano todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano.
En un plano frontal alfa (en rojo), esto es, un plano paralelo al plano vertical, se trata de hacer una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. A continuación dibujamos una recta b perpendicular a la recta anterior.
Para construir una recta a perpendicular a un plano frontal, se tiene que cumplir que sus proyecciones sean perpendiculares a sus trazas, de esta manera su proyección en planta es perpendicular a la traza horizontal del plano y su proyección en el perfil lo es a su traza en el perfil del plano. Todas las rectas perpendiculares a un plano frontal son rectas de punta ya que son perpendiculares también al plano vertical de proyección. Todo plano que pasa por la recta es perpendicular al plano dado, por ejemplo el plano que aparece en color verde llamado plano de canto o proyectante vertical. Por último, para construir una recta b perpendicular a la recta anterior podemos dibujar por ejemplo una recta vertical que incida en el plano frontal, que es un plano perpendicular a la recta anterior.
A la derecha vemos el ejercicio resuelto el sistema diédrico, el plano frontal representado por su traza horizontal y la recta de punta perpendicular al mismo. Un plano de canto que incide en esta recta y que por lo tanto es perpendicular al plano anterior y una recta perpendicular a esta recta, que es la recta vertical incidente en el plano rojo.
En la figura observamos un plano de color rojo alfa, paralelo a la línea de tierra, se trata de hacer una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. Se propone además hacer una recta b perpendicular a la recta anterior.
Como el plano es paralelo a la línea de tierra necesitamos construir las tres proyecciones de la recta, ya que aun siendo las proyecciones en planta y alzado de la recta perpendiculares a las trazas del plano, no es razón suficiente para confirmar que efectivamente la recta es perpendicular al plano.
La recta perpendicular al plano tiene sus proyecciones (a1 a2 a3) perpendiculares a las trazas (alfa 1 2 y 3 ) y un plano beta perpendicular al dado pasa por cualquier recta perpendicular al mismo, como la recta a anterior. Como tenemos que si una reta es perpendicular al plano lo es a todas las rectas del plano, para hacer una recta perpendicular a la recta dada hacemos una recta cualquiera b del plano dado.
A la derecha tenemos a menor escala del ejercicio resuelto el sistema diédrico: las tres trazas del plano alfa con las proyecciones ortogonales de la recta a que indican que la misma es perpendicular al plano, asimismo una recta en color rojo perteneciente al plano indica que es perpendicular a la recta a.
En la figura observamos un plano de perfil alfa en el que vamos a calcular una recta a y un plano beta perpendicular al mismo. Además calculamos una recta b perpendicular a la recta anterior.
El plano de perfil es perpendicular a la línea de tierra por lo que una recta perpendicular al mismo será paralela a esa misma línea, como por ejemplo la recta a. Cualquier plano que pasa por esa recta es perpendicular al anterior, como por ejemplo el plano beta paralelo a la línea de tierra. Si queremos hacer una recta perpendicular a la anterior dibujaremos una cualquiera del plano perpendicular a la misma, por ejemplo la recta b.
Para resolver el ejercicio en sistema diédrico, representamos el plano de perfil (en este caso lo hemos hecho coincidir con el plano de perfil que representa la traza del plano perpendicular al plano dado) y la recta a perpendicular al mismo así como un plano beta que incide en esta recta (el plano en azul definido por los tres plazas).
Para hacer la recta a perpendicular al plano dibujamos sus proyecciones a1 a2 perpendiculares a las trazas alfa 1 alfa 2 y para hacer un plano perpendicular al anterior pasamos el plano beta por esta recta, para ello la representamos en el perfil haciendo pasar su tercera traza beta 1 por la tercera proyección de la recta a3. Por último una recta b perpendicular a la dada pasa por ejemplo por el plano alfa perpendicular a la misma, de esta manera las proyecciones de la recta b1 b2 coinciden con las trazas del plano perpendicular a la recta alfa 1 y 2.
Tenemos un plano de canto alfa y queremos construir una recta a perpendicular al mismo, un plano beta perpendicular al mismo y una recta b perpendicular a la primera.
Si la recta es perpendicular al plano sus proyecciones son perpendiculares a las trazas, tenemos por tanto que a1 es perpendicular a alfa uno, a2 a alfa 2, y a3 perpendicular a alfa 3. Todo plano beta que pasa por esta recta es perpendicular al plano alfa. Hemos tomado un plano frontal que tiene su traza horizontal paralela a la línea de tierra (en el dibujo en color azul). Por último cualquier recta b del plano alfa es perpendicular a la recta a ya que si una recta a es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano por lo que basta con coger una recta cualquiera b de este plano para que cumpla tal condición.
En el dibujo pequeño a la derecha observamos el ejercicio resuelto en sistema diédrico, el plano de canto alfa en color negro y la recta a perpendicular al mismo incidente en ella un plano beta perpendicular al dado. Asimismo observamos una recta b del plano en color rojo y que por lo tanto es perpendicular a la recta a, perpendicular al plano alfa.
Curvas y superficies. Generación y clasificación
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012_03_01_archive.html
Curvas y elementos.
Un punto que se desplaza describe una curva, por lo que se puede definir ésta como el lugar geométrico de las distintas posiciones de un punto que se mueve.
Cuando el elemento que se mueve es una línea genera una superficie, por ello se puede definir como el lugar geométrico de las distintas posiciones de una línea.
Una superficie en general es también la parte límite de un cuerpo, el término de la superficie, es aquello que está en contacto con el exterior, con el espacio circundante. En la superficie sólo se pueden considerar dos dimensiones ya que no tiene volumen.
Las curvas pueden ser planas o alabeadas.
Si el punto que genera la curva se mueve en el plano genera una curva plana, si lo hace fuera del plano una curva alabeada. La curva alabeada se denomina también de doble curvatura.
Elemento rectilíneo es el segmento que une dos puntos infinitamente próximos de la curva.
Secante es el segmento que une dos puntos distantes de la curva.
Tangente es el límite de la secante de dos puntos infinitamente próximos. Es la prolongación del elemento rectilíneo.
Normal es la perpendicular a la recta tangente trazada en un punto de la curva.
Ángulo de contingencia es aquel definido por dos tangentes de la curva.
Círculo osculador es aquel que coincide con tres puntos de la curva.
Centro de curvatura es el centro del círculo osculador.
Radio de curvatura es el del círculo osculador.
Curvatura total es el ángulo de contingencia de tangentes extremas de la curva.
http://curvas-planas.blogspot.com/
http://curvas-conicas.blogspot.com/
Definición de superficie: Una superficie es el lugar geométrico de las posiciones distintas de una línea o curva en el espacio. Una superficie es la envoltura que circunda a un cuerpo. Los planos directores o directrices son los que establecen el movimiento de la generatrices de la superficie. Pueden ser limitadas o ilimitadas según que contengan un volumen finito dentro de un cuerpo o no. Superficie tangencial es aquella que tiene una línea común como otra superficie, sin cortarla ni atravesarla.
Superficie plana es aquella en la que se pueden trazar líneas rectas en cualquier dirección de la misma.
Superficie envolvente es la que genera distintas posiciones de otra superficie llamada involuta.
Superficies regladas se engendran por el movimiento de una recta y pueden ser seguidas por una regla de manera que toque a todos los puntos de la superficie a través de una de sus generatrices. Superficie reglada es la que se puede seguir con una regla por todas sus caras tocando todos sus puntos.
Superficie cilíndrica es aquella que genera una recta cuando se mueve siempre paralela a una dirección dada.
La superficie cónica se engendra por una línea recta que se desplaza incidiendo siempre en un mismo punto fijo y por una línea directriz curva. (Línea directriz es aquella línea por la que pasan todas las generatrices, y las generatrices son las líneas que determinan la superficie).
La superficie es reglada por estar formada por cilindros (intersección de 3 cilindros iguales de ejes concurrentes ortogonales). Los cilindros son superficies cuyas generatrices pueden seguirse con una regla tocando todos sus puntos.
Superficies desarrollables son las que se pueden extender sobre un plano sin deformación, como por ejemplo las superficies cilíndricas y cónicas. Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. Si un plano es tangente a la superficie en un punto lo es en toda la generatriz que pasa por ese punto,
por regla general cualquiera de estas propiedades son suficientes para que la superficie sea considerada desarrollable.
Superficies radiadas son las que se generan por el movimiento de una recta apoyada en un punto propio o impropio y sobre una línea o curva.
Superficies alabeadas son las que no se pueden desarrollar y tienen sus generatrices infinitamente próximas. La superficie alabeada es la que siendo reglada (que quiere decir que se puede hacer con líneas rectas) no se puede desarrollar (que quiere decir que no se puede extender sobre un plano sin deformación). Un plano tangente a las mismas en un punto contiene a su generatriz pero no es tangente a la superficie en otros puntos de la generatriz.
Superficies alabeadas son las que se generan por el movimiento de una línea recta de forma que dos posiciones adyacentes de una recta se cruzan. En la figura un conjunto de líneas rectas se apoyan en otras dos, llamadas directrices, generando una superficie reglada alabeada.Una curva alabeada es una línea en la que todos sus puntos no están sobre el plano.
Superficie alabeada y superficie reglada alabeada son sinónimos, se utilizan indistintamente.
Capialzado de Marsella
Clasificación de las superficies alabeadas: las generatrices deben apoyarse siempre sobre tres directrices:
1- Se apoya sobre tres directrices sin perder en ningún momento el contacto con ellas.
En este caso tenemos el hiperboloide elíptico y de revolución, construidos sobre tres líneas rectas.
Curvas alabeadas construidas con dos líneas rectas y una curva.
Clasificación de las superficies alabeadas: las generatrices deben apoyarse siempre sobre tres directrices:
1- Se apoya sobre tres directrices sin perder en ningún momento el contacto con ellas.
En este caso tenemos el hiperboloide elíptico y de revolución, construidos sobre tres líneas rectas.
Curvas alabeadas construidas con dos líneas rectas y una curva.
Curvas alabeadas construidas con tres líneas curvas.
Curvas alabeadas construidas con una línea recta y dos curvas, por ejemplo el cuerno de vaca o paso oblicuo.2- Se apoyan en dos líneas directrices y siempre están paralelas a un plano director.
Apoyado sobre dos líneas rectas tenemos el paraboloide hiperbólico.
Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el conoide y el helicoide recto.
Apoyado en dos líneas curvas tenemos el cilindroide.
3- Se apoyan en dos líneas directrices y forma la generatriz siempre un mismo ángulo con algún plano.
Apoyado en dos líneas rectas tenemos el hiperboloide concoideo
Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el helicoide oblicuo.
Apoyado en dos líneas curvas tenemos el helicoide oblicuo.
Todas las superficies alabeadas son siempre regladas, esto quiere decir que se pueden generar con una línea recta. Si en un punto de una superficie reglada sólo se puede trazar una línea recta y no más se dice que la superficie reglada es simple, también denominada reglada simple o de simple reglaje. Si se pueden trazar dos será de doble reglaje. Las superficies de doble reglaje son el hiperboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico.
El paraboloide hiperbólico
El paraboloide está generado por una recta que se apoya en dos líneas directrices y siempre se mantiene paralela a un plano llamado director. Existe otro conjunto de generatrices consideradas como directrices y un plano paralelo a estas directrices definido como nuevo plano director.Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto sistema se cortan.
La superficie es de segundo orden ya que si es cortada por una recta la corta como máximo en dos puntos.
El plano tangente en un punto a la misma está definido por dos generatrices, una de cada sistema, y ambas pasan por el plano.
Como cada sistema contiene una generatriz en el infinito -la línea del infinito del plano director- todo plano secante tiene dos puntos en el infinito comunes con la superficie. Las secciones planas de la superficie son de forma general hipérbolas y en casos particulares parábolas.
Los planos paralelos a la recta común de los planos directores producen secciones parabólicas mientras que todas las demás secciones son hiperbólicas.
El conoide
El conoide es una superficie reglada alabeada con un plano director y dos directrices, una rectilínea y otra curva. Si la directriz curva es un círculo se tiene el conoide circular, si es una elipse tenemos el conoide elíptico, etcétera.Si la recta directriz es paralela al plano de la directriz curva y perpendicular al plano director la superficie engendrada se denomina conoide recto, en caso de que no lo sea, se denomina oblicuo.
Conoide
Distintas secciones del conoide: desde el triángulo C-C, a la elipse A-A, a la forma aerodinámica en gota de agua B-B, a curvas aproximadas en sus formas a enlaces de distintas elipses: D-D y E-E.Hiperboloide de revolución de una rama.
Se le denomina también hiperboloide y es un caso particular del hiperboloide elíptico.
Todas las secciones que cortan a la superficie perpendicularmente al eje son círculos. El hiperboloide se puede generar por una recta que se mueve siempre en contacto con tres directrices que se cruzan, también por una recta girando alrededor del eje de forma que se cruza con él. También se puede generar por una recta que se mueve incidente en tres círculos cuyos centros están en el eje de revolución. También se puede generar por una hipérbola que gira alrededor de la directriz.
Siendo el hiperboloide de doble reglaje se puede construir mediante el cruzado de barras rectas. Se aplica en torres, mástiles, en tejidos, engranajes hiperbólicos para dos ejes que se cruzan. Las superficies de rodadura son troncos de hiperboloides. También lo son los dientes de engranajes hiperbólicos en forma de espiral para suavizar la acción motriz del sistema de engranajes.
Si consideramos dos rectas que se cruzan y una de ellas es el eje de revolución al girarlas, se engendra un hiperboloide de una hoja.Las rectas de esta superficie infinitamente próximas se cruzan y la simétrica de cualquiera respecto a un plano meridiano de la superficie de revolución es una generatriz del otro sistema de rectas.
El hiperboloide es una superficie cuyas secciones son siempre cónicas, cuando la superficie gira cualquier generatriz aparece dos veces paralela a un plano meridiano por lo que toda sección meridiana es una hipérbola. De ello se desprende que la superficie se puede generar por rotación de una hipérbola en torno a su eje.
El hiperboloide es una superficie de segundo orden y por cada uno de sus puntos pasan dos líneas de cada sistema que definen el plano tangente en uno de sus puntos. Éste plano secciona a la superficie en dos rectas. La superficie no se puede desarrollar por ser alabeada.
Para calcular la intersección de una superficie alabeada con un plano se hallan los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante y a continuación se unen entre sí.
La intersección de cualquier superficie alabeada con otra se obtiene calculando las intersecciones de las generatrices de las dos.
Las superficies regladas alabeadas encuentran una aplicación muy extendida en la construcción de cubiertas, tejados, ajustes de tuberías, engranajes, torres de refrigeración de centrales nucleares, engranajes hiperbólicos para ajustar ruedas cuyos ejes se cruzan, etc.
El paraboloide hiperbólico es una superficie reglada alabeada, se puede construir con líneas rectas y al mismo tiempo es de doble curvatura. Dos rectas muy próximas del paraboloide hiperbólico se cruzan y es una superficie que no se puede desarrollar. El paraboloide hiperbólico está construido por líneas rectas que se apoyan en parábolas, estas son las curvas directrices de la superficie.El paraboloide hiperbólico es la forma de una silla de montar y tiene todos sus puntos hiperbólicos, que quiere decir que en el entorno de un punto, dos planos normales a la superficie pueden generar como sección una curva cóncava y otra convexa. Por regla general todas las secciones de esta superficie son hipérbolas, salvo las que se producen por secciones de planos incidentes o paralelos a la intersección de los planos directores.
http://superficies-regladas-alabeadas com/
Una curva alabeada es aquella cuyos puntos no están sobre un plano y superficie alabeada es la que siendo reglada no se puede desarrollar, esto es, que no se puede extender sobre un plano.
Otro paraboloide hiperbólico pero con menos curvatura, se forma por rectas (generatrices) apoyadas en dos rectas que se cruzan a b (directrices). Los planos paralelos que contienen esas rectas determinan uno de los planos directores, el otro es perpendicular a ambos. Un plano director de una superficie es el plano que se puede mantener siempre paralelo a una generatriz de la misma. De los dos planos directores se desprende que la superficie tiene generatrices de dos sistemas distintos que se cortan, mientras que las del mismo sistema paralelas a un plano director se cruzan.
Dos secciones distintas de una figura con caras en paraboloides hiperbólicos. Si el plano de corte coincide en su desplazamiento con un plano director tenemos como sección un polígono, si el corte es oblicuo tenemos por lo general una figura formada por hipérbolas.La geometría del universo en paraboloide hiperbólico.
El espacio en el que nos movemos es un espacio plano, las paralelas en sentido estricto no se cortan y los ángulos de un triángulo suman 180°, etc. Existen otras dos geometrías que se corresponden con que todos los puntos del espacio sean homogéneos y cumplan con el principio de la isotropía, que el universo sea equivalente en todas las direcciones.
Aparte de la geometría de un espacio plano existen entonces otras dos posibilidades, que sea esférica o que sea hiperbólico. En la primera la curvatura es positiva que quiere decir que en el entorno de un punto las dos curvas que pasan por él son convexas. En un universo de forma esférica la distancia más corta entre dos puntos es una geodésica, una circunferencia cuyo centro es el de la esfera. De esta forma las líneas paralelas al final siempre se cortan, los ángulos de un triángulo suman siempre más de 180° y la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de la circunferencia del plano. Como la esfera que se desenvuelve, que se cierra sobre sí mismo, tenemos que es un espacio finito porque la superficie también lo es.
En el caso del paraboloide hiperbólico que encuentra su aplicación en un universo hiperbólico las paralelas ya no se cortan, los triángulos por ser la superficie cóncava suman menos de 180° y la circunferencia depositada sobre este universo con forma de silla de montar es mayor que la longitud de la circunferencia sobre el plano. En el espacio plano euclídeo, si le aumentamos los elementos del infinito obtenemos el plano proyectivo, en el que tenemos que el espacio contiene una recta en el infinito. El espacio hiperbólico al igual que el plano es infinito.
Estos espacios generan diferentes perspectivas y distorsionan la apariencia de fondo de radiación de microondas. Las que son mayores ondulaciones en el fondo tienen un tamaño absoluto igual, al margen del proceso de inflación específico. Siendo el universo un plano, las ondulaciones mayores podrían tener el tamaño de 1°. Si el universo es hiperbólico podrían alcanzar medio grado conforme a la distorsión de los rayos de luz. Parece ser que tras diversas observaciones las ondulaciones medidas adquieren el tamaño de 1° con lo que se vendría abajo la teoría inflacionaria abierta.
Si queremos representar los tres modelos de espacio en tres dimensiones es necesario hacer un punto de vista que muestra las mismas así como un sistema de referencia. La visión exterior superficial de los espacios nos sirve para deducir reglas geométricas elementales mientras que el espacio interno de referencias define tamaños entre objetos a distintas distancias.
En el espacio plano tenemos que por efecto de la perspectiva el tamaño angular de esferas iguales es inversamente proporcional a la distancia, lo que nos introduce en el espacio proyectivo del punto que se desvanece, el punto que tiene su homólogoen el infinito.
El espacio esférico contiene unas distancias internas que se incrementan y posteriormente se colapsan en el polo opuesto, es un sistema basado en dodecaedros.
El espacio de curvatura negativa por ser de ángulos agudos, existe una disminución angular mayor que en el espacio euclídeo. Su entramado en cada vértice contiene cinco cubos.
Superficie compuesta es aquella engendrada o constituida por la combinación de otras.
Tangentes a una superficie.
La recta tangente a una superficie en un punto es la tangente en ese punto a cualquier curva de la superficie.
El plano tangente a la superficie en un punto es el lugar geométrico de todas las tangentes que pasan por ese punto.
Un plano es normal a una superficie en un punto cuando lo es al plano tangente a la superficie en el mismo punto.
Superficies curvas son las que se engendran por el movimiento de una curvapero que no se pueden desarrollar ni alabear.
Superficies de doble curvatura son las generadas por el movimiento de una curva. Existen dos tipos: las superficies de revolución generadas por el movimiento de una curva que gira en torno a un eje y las superficies de evolución o de desarrollo que son generadas por el movimiento de una curva que puede ser variable y a lo largo de una trayectoria que no es circular. Todas las superficies de doble curvatura que no son de revolución, lo son de evolución.
La superficie de revolución se genera por una línea o curva que gira en torno a una recta llamada eje de revolución, estando ambas en el mismo plano.
Superficies de revolución de doble curvatura: un cono es una superficie de revolución porque se engendra con una recta que gira en torno a un eje pero no es de revolución de doble curvatura porque la que gira es una recta y no una línea curva.
La esfera sí que es una superficie de revolución de doble curvatura ya que es una curva que gira en torno a uno de sus diámetros.
Todas las curvas cónicas generan al girar la cónica sobre un eje una superficie de revolución de doble curvatura, la elipse genera el elipsoide, la hipérbola el hiperboloide, la circunferencia la esfera o el toro, la parábola el paraboloide, etcétera.
Si cogemos formas irregulares se tienen superficies complejas de revolución como pueden ser jarros, pies de lámparas etc. las superficies de doble curvatura no son desarrollables, pero se pueden aproximar mediante el desarrollo de superficies cilíndricas entre generatrices.
Todas las secciones ortogonales al eje de revolución son siempre círculos llamados paralelos, mientras que las secciones que pasan por el eje de revolución son meridianos.
Superficies de evolución:
Como refiere su nombre, son superficies que evolucionan con curvas o líneas de distinta forma. Superficie de evolución es aquella que evoluciona o se transforma, generándose por la unión de curvas distintas. En la figura un cuadrado se transforma de forma uniforme en una circunferencia. Para su construcción digital se utiliza el comando solevación. Su apariencia a veces es de una forma imposible, de una figura con una perspectiva mal dibujada -como la que aparenta el dibujo.Como ejemplo de superficies de evolución o de desarrollo tenemos carrocerías de automóviles, fuselajes de aviones, casco de navíos y superficies irregulares complejas que suelen ser redondeadas y suaves y cuya definición del contorno no es suficiente para definirlas. La forma de definirlas es mediante proyecciones principales o secciones principales entre planos paralelos. Es algo análogo a lo que se hace en el sistema acotado, representar una montaña por líneas de contorno o de nivel, este es un ejemplo también del método que se viene haciendo desde hace años para la construcción de barcos.
Diseño de barcos: estas superficies contorneadas se generan mediante secciones ortogonales a los planos de proyección del conjunto de planos horizontales y verticales, que determinan puntos de la superficie y se proyectan generando, por ejemplo, en un casco de un barco, la línea de flotación en el alzado y en la planta y las cuadernas o secciones de planos verticales en el perfil.
Cada cuaderna que se muestra en la proyección vertical es la intersección de la superficie del barco con un plano vertical y otro horizontal. Las líneas de flotación que se indican en una proyección en planta representan las curvas de intersección con planos horizontales.
Se debe hacer un estudio muy profundo del carenado para que la superficie final sea suave. Para conseguirlo las curvas han de tener un radio de curvatura muy grande y se deben utilizar cónicas, que gozan de tener la propiedad de ser suaves, esto quiere decir, que no se nota la transición de una a otra. Las superficies generadas concónicas son fuseladas y aerodinámicas.
Se demuestra en geometría proyectiva que para determinar una cónica son necesarios cinco elementos entre puntos y/o tangentes. Las tangentes nos sirven para definir la pendiente en cada punto de la cónica. De esta forma los puntos de los contornos de las superficies se pueden unir cada cinco elementos mediante una cónica y enlazarlo a continuación con otra cónica.
La hélice es una línea de doble curvatura que está generada por un punto que se desplaza de manera uniforme en torno a un eje, al tiempo que se desplaza siempre paralelo al mismo.
Es el resultado de componer un giro y una traslación; si el punto equidista siempre del eje, la hélice será cilíndrica mientras que si la distancia del punto al eje varía de manera uniforme según se mueve la hélice, será cónica. También se puede considerar la hélice como una circunferencia que gira mientras se desplaza en la dirección del eje. Cuando la circunferencia da una vuelta entera se le llama paso de la hélice. Puede rotar hacia la derecha o hacia la izquierda.
La principal aplicación de esta curva es el tornillo, además se utiliza en muelles cilíndricos y cónicos, taladros, rocas, fresas en espiral, escaleras de caracol, etcétera.
La hélice es el movimiento que describe un punto de una hélice de un avión cuando se mueve, también es la línea directriz de las superficies helicoidales.
Para construirla nos valemos de tres datos, el diámetro, el paso y la dirección de giro de la hélice. Para dibujarla basta con hacer circunferencias a diferentes alturas en un alzado y generatrices de un cilindro en planta proyectadas sobre el alzado. La intersección de la primera línea con la primera circunferencia es un punto de la curva, la de la segunda línea con la segunda circunferencia otro punto de la curva, y así sucesivamente. Cuantas más circunferencias y líneas tenga la figura más precisa saldrá dibujada la curva.
Como las circunferencias son equidistantes y las divisiones angulares son iguales para las generatrices, tenemos que el ángulo de inclinación de la hélice es siempre constante. El desarrollo de la figura es un triángulo, la base del triángulo es la rectificación de la circunferencia base del cilindro, la altura es la longitud del paso y la hipotenusa del triángulo es la verdadera magnitud de un giro completo de la hélice. El ángulo entre la hipotenusa y la base tiene siempre una pendiente constante.
La pendiente es la tangente del ángulo y para determinar su inclinación dividimos el paso entre la longitud de la circunferencia, o lo que es lo mismo, la altura del triángulo dividida entre la longitud de la circunferencia. Si queremos dibujar la tangente a la curva, debemos saber que tiene la misma pendiente que la hélice por lo que coincide con el desarrollo de la misma.
Helicoide o hélice adaptado a un toro o "donuts" llamado helicoide tórico.La hélice se puede adecuar a cualquier superficie adoptando el nombre propio más el de la superficie en la que se acomoda.
La superficie helizoidal se engendra por una línea recta que gira en torno a un eje al tiempo que se desplaza en la dirección del mismo. Si tomamos un helicoide y en uno de sus puntos colocamos una recta con una posición cualquiera, el desplazamiento de la recta por el helicoide genera un helizoide.
El helicoide es la curva que engendra un punto al componer un movimiento de giro más otro de traslación, es el movimiento que describe un punto de una hélice de un avión cuando se mueve. Si ese punto que describe la hélice o helicoide lo unimos a su eje de revolución con líneas rectas tenemos una superficie helicoidal llamada helizoide, si estas líneas rectas son perpendiculares al eje tenemos un helicoide recto. El helicoide es un ejemplo particular de los pasamanos o del borde de los peldaños de una escalera de caracol.http://helicoides.blogspot.com/
Las líneas que pasan por el helicoide pueden ser oblicuas respecto al eje, con lo cual tenemos un helicoide oblicuo. Pueden cortar al eje o pueden cruzarse con él pudiendo producir superficies regladas alabeadas.
Los helicoides se pueden adecuar a cualquier tipo de superficie, en el primer caso (borde superior izquierdo) se adecuaron a una elipse de revolución que genera un elipsoide, con lo que tenemos un helicoide elipsoidal. En el segundo caso está adecuado a un toro sin agujero (un donette en color rojo), en el tercer caso en azul tendremos que está adecuado a un cono de revolución. Si en una espiral (http://curvas-planas.blogspot.com/) se estira ortogonal y uniformemente uno de sus vértices hasta alejarlo del plano en el que se aloja, obtenemos un helicoide cónico.En magenta tenemos un muelle contraído por uno de los bordes, en el azul lo tenemos con una torsión, etcétera.
Cuando en vez de desplazarse un punto para generar el helicoide, lo que se desplaza es una esfera, tenemos un objeto llamadoserpentín.
Como el serpentín es un muelle en cuyas secciones transversales al movimiento de la esfera que engendra la superficie son circunferencias tenemos que también se engendra al desplazar una circunferencia a lo largo de la trayectoria del helicoide siendo los puntos del helicoide centros de la circunferencia y ésta ortogonal al eje de desplazamiento.Una convoluta helicoidal es la superficie generada por una línea recta que es tangente a la hélice. Para definirla necesitamos la directriz helicoidal dada y un punto de tangencia.
Esta superficie se puede colocar entre dos superficies cilíndricas concéntricas para determinar en la planta los dos puntos de intersección de cada recta con los cilindros y obtener el contorno de los dos helicoides que son las directrices de la superficie.
El helicoide recto es una superficie reglada alabeada cuya generatriz se mueve siempre en contacto con dos hélices concéntricas. Estas hélices son sus directrices y forman un ángulo siempre igual con sus ejes. Si la generatriz es ortogonal tenemos un helicoide recto, si no lo es tenemos uno oblicuo. El helicoide recto que tiene una generatriz incidente en el eje entra dentro de la clasificación del conoide, ya que todos sus elementos son paralelos al plano director.
El helicoide oblicuo es aquel cuya generatriz se traslada siempre mediante un mismo ángulo.
La superficie helicoidal posee muchas aplicaciones, la rosca cuadrada helicoidal posee una superficie lateral que es un helicoide recto, los muelles de arrollamientos helicoidales. Las roscas de tornillos, los muelles de las bobinas, los resortes, las roscas de los taladros, las escaleras de caracol, etcétera.
Superficies radiadas: conos, cilindros, prismas y pirámides.
Un cono de vértice en el infinito es un cilindro, una pirámide con un vértice en el infinito es un prisma, un prisma de infinitas caras es un cilindro, todos son casos particulares de los cilindros.
El cilindro es una una superficie de revolución y reglada. Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.
El cilindro es también una superficie radiada que quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla y un punto del canto de esta regla pasa siempre por un punto fijo de la superficie, esto es, que la regla toca un punto sobre la superficie de forma invariable -e ideal si está en el infinito, como el caso del cilindro o prisma.
Un prisma oblicuo a la izquierda y otro recto a la derecha. El desplazamiento o extrusión de un polígono en una trayectoria recta u oblicua genera un prisma recto u oblicuo, respectivamente. El prisma es otra superficie radiada de tipo cilíndrica porque las líneas que unen sus bases están unidas por líneas paralelas. La superficie radiada cilíndrica es un caso particular de la cónica en la que el vértice por donde pasan los radios está en el infinito. Superficie prismática es la que se genera por una recta que se mueve siempre paralela a otra y en una trayectoria poligonal quebrada que está sobre un plano distinto a ella.
El cono es una superficie radiada de tipo cónica que se engendra por una recta que gira en torno a un eje, ambas en el mismo plano. La línea o curva directriz es la que corta a todas las generatrices y es en este caso una circunferencia. La curva directriz es una sección del cono.
La pirámide es otro tipo de superficie radiada de tipo cónico porque tiene su vértice localizado en un punto propio. La directriz es un polígono regular o irregular y la pirámide es recta si su vértice incide en la recta perpendicular a la base, si no es, como en este caso, una pirámide oblicua. Es una superficie reglada, ya que una regla que pase por su vértice puede seguir todas las caras de la superficie, y es además desarrollable, que quiere decir que sus caras se pueden extender sobre un plano y poder construirla de papel.
El cilindro es una una superficie de revolución y reglada. Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.El cilindro es también una superficie radiada que quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla y un punto del canto de esta regla pasa siempre por un punto fijo de la superficie, esto es, que la regla toca un punto sobre la superficie de forma invariable -e ideal si está en el infinito, como el caso del cilindro o prisma.
Un prisma oblicuo a la izquierda y otro recto a la derecha. El desplazamiento o extrusión de un polígono en una trayectoria recta u oblicua genera un prisma recto u oblicuo, respectivamente. El prisma es otra superficie radiada de tipo cilíndrica porque las líneas que unen sus bases están unidas por líneas paralelas. La superficie radiada cilíndrica es un caso particular de la cónica en la que el vértice por donde pasan los radios está en el infinito. Superficie prismática es la que se genera por una recta que se mueve siempre paralela a otra y en una trayectoria poligonal quebrada que está sobre un plano distinto a ella.
El cono es una superficie radiada de tipo cónica que se engendra por una recta que gira en torno a un eje, ambas en el mismo plano. La línea o curva directriz es la que corta a todas las generatrices y es en este caso una circunferencia. La curva directriz es una sección del cono.
La pirámide es otro tipo de superficie radiada de tipo cónico porque tiene su vértice localizado en un punto propio. La directriz es un polígono regular o irregular y la pirámide es recta si su vértice incide en la recta perpendicular a la base, si no es, como en este caso, una pirámide oblicua. Es una superficie reglada, ya que una regla que pase por su vértice puede seguir todas las caras de la superficie, y es además desarrollable, que quiere decir que sus caras se pueden extender sobre un plano y poder construirla de papel.
Una superficie de revolución es la que se genera al girar una recta o curva alrededor de otra recta llamada eje de giro, siendo ambas coplanarias.Si cortamos la superficie por un plano ortogonal al eje tenemos una circunferencia llamada paralelo. Toda superficie de revolución tiene un paralelo de radio máximo y mínimo, denominados respectivamente círculos de ecuador y de garganta.
Todo plano que corta la figura y que incida en el eje de la superficie de revolución se llama meridiano. El meridiano de plano frontal es el que corresponde al contorno de la superficie en alzado. Los meridianos son líneas curvas simétricas respecto al eje de revolución, y la superficie es siempre simétrica respecto a cualquier plano meridiano que pase por el eje.
Cada punto de la superficie contiene a un paralelo y a un meridiano, excepto si la superficie corta al eje en un punto, en este caso por el punto pasan todos los meridianos.
Toda superficie de revolución queda definida por la curva o línea generatriz y su eje, estando ambas en un mismo plano.
Todo plano tangente a la superficie de revolución está definido por las líneas tan gentes a dos curvas de la superficie que pasen por él.
Como caso particular tenemos las tangentes que definen el meridiano y paralelo que pasan por un punto.
El plano tangente en un punto es perpendicular al plano meridiano que pasa por el punto. Todos los paralelos y meridianos se cortan entre sí perpendicularmente.
La superficie envolvente de los planos tangentes en todos los puntos de los paralelos y de los meridianos es un cono y un cilindro circunscrito a ella, respectivamente.
Todas las rectas perpendiculares a la superficie en todos los puntos de cualquier paralelo se dirigen siempre a un punto del eje.
La esfera es una superficie de revolución, pues se engendra por una semicircunferencia que gira en torno a un eje de revolución que es su diámetro.Es una superficie de doble curvatura, esto quiere decir que es curva en dos direcciones distintas. Todos sus puntos son elípticos, o sea que en el entorno de un punto las curvas tienen el mismo sentido y es una superficie de segundo grado porque una recta la corta como máximo en dos puntos. La esfera es una superficie no desarrollable, por tanto no se puede extender sobre un plano.
En una esfera se puede representar lo que aparece en un plano conservando los ángulos mediante una proyección llamada estereográfica:
http://proyeccion-estereografica.blogspot.com/
De ahí que se utilice mucho en cartografía (construcción de mapas)http://construccion-de-mapas.blogspot.com/, y por ejemplo en la cartografía celeste:
http://cartografia-celeste.blogspot.com/
Tambien se conservan los ángulos en una transformación del espacio exterior en el interior de la esfera, esto es, en la inversión del espacio en la esfera:
http:// tangencias-inversion.blogspot.com/
Geometría no euclídea de la esfera:
http://geometria-de-la-esfera.blogspot.com/
Perspectiva en la esfera:
La esfera cromada refleja casi todo su entorno: cálculo de reflejos sobre la esfera., detalle con el que Escher hacía efectos mágicos con frecuencia.
El toro (figura semejante a un donuts) es una superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira en torno a un eje que no pasa por su centro, ambas en el mismo plano. Las secciones de un toro son las llamadas curvas de Cassini, la sección por desplazamiento por un borde de la figura genera primero una curva parecida a una circunferencia cada vez más excéntrica hasta generar otra curva parecida a la elipse que se va alargando y sus extremos se van haciendo cada vez más rectos hasta estrecharse por el medio y llegarse a cortar produciendo una figura parecida al símbolo del infinito llamadalemniscata (sección AA), curva inversa de la hipérbola y utilizada como curva de transición progresiva para enlazar vías de autopista (como la clotoide para el trazado de curvas suaves).
A partir de esta sección el desplazamiento produce la separación de los dos trozos de la lemniscata en curvas parecidas a elipses hasta transformarse en circunferencias simétricas respecto al eje.
El toro es una superficie de cuarto orden, esto es el número máximo de puntos con que la puede atravesar una recta, que son cuatro.
Una superficie de revolución está engendrada por una línea o curva que gira en torno a un eje y es coplanaria con él. En el dibujo vemos las distintas posiciones de una parábolaque gira en torno a un eje que a veces es secante (los tres casos de la izquierda), otras es exterior (la figura de color roja) y otra es tangente (la figura violeta). El paraboloide es la figura verde, engendrada por el giro de media parábola en torno a su eje de revolución.
Paraboloide elípticoengendrado por una parábola que gira en torno a su eje. Como toda superficie de revolución todas las secciones ortogonales a su eje son circunferencias mientras que todas las que pasan por el eje determinan la curva de revolución que engendra la superficie. Las secciones ortogonales se llaman paralelos y las que pasan por el eje se llaman meridianos.
Superficies de 2º grado, o cuádricas o cuadráticas son aquellas superficies algebraicas que tienen una ecuación de segundo grado (elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de revolución o de dos hojas, etc.)
Una recta puede cortar a una cuádrica en un punto, dos o ninguno. Si tiene 3 sobre la cuádrica, la recta pertenece a la superficie. Una cuádrica tiene en cada punto un plano tangente, si tuviera más decimos que la superficie tiene puntos múltiples, cosa que no sucede en estas superficies.
Toda superficie cuadrática tiene dos tipos de puntos, elípticos o hiperbólicos.
Las cuádricas elípticasson superficies que no pueden ser generadas por rectas mientras que las hiperbólicas sí que pueden, de ahí que a las elípticas se les llame cuádricas no regladas y a las hiperbólicas se les llame cuádricas regladas.
En una cuádrica elíptica un plano puede ser secante de manera que la corta siempre según una cónica, si es tangente el plano toca a la cuádrica en un punto y si es exterior no la corta.
Cuando el plano del infinito es exterior a la cuádrica tenemos un elipsoide, si el plano es tangente a la cuádrica tenemos un paraboloide elíptico y si corta a la misma tenemos un hiperboloide de revolución o de dos hojas.
Las tres superficies cuadráticas se engendran por la revolución de la elipse, parábola o hipérbola tomando como eje de revolución su eje de simetría
Toda cuádrica hipérbólica contiene dos grupos de generatrices de distinto sistema, a cada uno se le llama haz alabeado.
La cuádrica reglada no contiene planos exteriores, cualquier plano del espacio la corta en infinitos puntos de sus generatrices generando una cónica, cuyo caso particular puede degenerar en dos rectas. Todo plano secante la corta según una cónica, mientras que si es tangente corta a la superficie en dos rectas, de las que su punto de intersección es el punto de contacto del plano tangente a la superficie.
Cuando el plano que está en infinito es tangente a la cuádrica tenemos el paraboloide hiperbólico, mientras que si el plano es secante tenemos un hiperboloide de una hoja o hiperboloide reglado.
Propiedades: por cada punto de la superficie cuadrática pasa una generatriz de cada uno de los dos sistemas. Dos generatrices de un mismo sistema e infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto sistema se cortan. Las generatrices de los distintos sistemas se cortan en series proyectivas de puntos.
Podemos dibujar estas figuras mediante las generatrices de un sistema que quedan determinadas por tres puntos colineales de tres generatrices distintas del otro sistema. Si tomamos dos generatrices de distinto sistema que se corten, por el punto de intersección pasa un plano tangente a la cuádrica.
Superficie poliédrica es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.
Poliedros regulares son los que tienen todas las caras iguales, y sonpolígonos regulares,-figuras planas que tienen todos los lados y ángulos iguales. Existen sólo cinco y tienen numerosas propiedades: se pueden inscribir unos dentro de otros de diversas formas, se pueden inscribir y circunscribir en una esfera, se pueden prolongar sus aristas obteniéndose otro de ellos, etc. En la figura se observa un icosaedro regular, que es una figura de 20 caras que son polígonos regulares, con sus dos proyecciones planas idénticas en planta y alzado tras un giro de 90° y desplazamiento de una de las vistas.
El toro (figura semejante a un donuts) es una superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira en torno a un eje que no pasa por su centro, ambas en el mismo plano. Las secciones de un toro son las llamadas curvas de Cassini, la sección por desplazamiento por un borde de la figura genera primero una curva parecida a una circunferencia cada vez más excéntrica hasta generar otra curva parecida a la elipse que se va alargando y sus extremos se van haciendo cada vez más rectos hasta estrecharse por el medio y llegarse a cortar produciendo una figura parecida al símbolo del infinito llamadalemniscata (sección AA), curva inversa de la hipérbola y utilizada como curva de transición progresiva para enlazar vías de autopista (como la clotoide para el trazado de curvas suaves).A partir de esta sección el desplazamiento produce la separación de los dos trozos de la lemniscata en curvas parecidas a elipses hasta transformarse en circunferencias simétricas respecto al eje.
El toro es una superficie de cuarto orden, esto es el número máximo de puntos con que la puede atravesar una recta, que son cuatro.
Una superficie de revolución está engendrada por una línea o curva que gira en torno a un eje y es coplanaria con él. En el dibujo vemos las distintas posiciones de una parábolaque gira en torno a un eje que a veces es secante (los tres casos de la izquierda), otras es exterior (la figura de color roja) y otra es tangente (la figura violeta). El paraboloide es la figura verde, engendrada por el giro de media parábola en torno a su eje de revolución.
Paraboloide elípticoengendrado por una parábola que gira en torno a su eje. Como toda superficie de revolución todas las secciones ortogonales a su eje son circunferencias mientras que todas las que pasan por el eje determinan la curva de revolución que engendra la superficie. Las secciones ortogonales se llaman paralelos y las que pasan por el eje se llaman meridianos.
Superficies de 2º grado, o cuádricas o cuadráticas son aquellas superficies algebraicas que tienen una ecuación de segundo grado (elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de revolución o de dos hojas, etc.)
Una recta puede cortar a una cuádrica en un punto, dos o ninguno. Si tiene 3 sobre la cuádrica, la recta pertenece a la superficie. Una cuádrica tiene en cada punto un plano tangente, si tuviera más decimos que la superficie tiene puntos múltiples, cosa que no sucede en estas superficies.
Toda superficie cuadrática tiene dos tipos de puntos, elípticos o hiperbólicos.
Las cuádricas elípticasson superficies que no pueden ser generadas por rectas mientras que las hiperbólicas sí que pueden, de ahí que a las elípticas se les llame cuádricas no regladas y a las hiperbólicas se les llame cuádricas regladas.
En una cuádrica elíptica un plano puede ser secante de manera que la corta siempre según una cónica, si es tangente el plano toca a la cuádrica en un punto y si es exterior no la corta.
Cuando el plano del infinito es exterior a la cuádrica tenemos un elipsoide, si el plano es tangente a la cuádrica tenemos un paraboloide elíptico y si corta a la misma tenemos un hiperboloide de revolución o de dos hojas.
Las tres superficies cuadráticas se engendran por la revolución de la elipse, parábola o hipérbola tomando como eje de revolución su eje de simetría
Toda cuádrica hipérbólica contiene dos grupos de generatrices de distinto sistema, a cada uno se le llama haz alabeado.
La cuádrica reglada no contiene planos exteriores, cualquier plano del espacio la corta en infinitos puntos de sus generatrices generando una cónica, cuyo caso particular puede degenerar en dos rectas. Todo plano secante la corta según una cónica, mientras que si es tangente corta a la superficie en dos rectas, de las que su punto de intersección es el punto de contacto del plano tangente a la superficie.
Cuando el plano que está en infinito es tangente a la cuádrica tenemos el paraboloide hiperbólico, mientras que si el plano es secante tenemos un hiperboloide de una hoja o hiperboloide reglado.
Propiedades: por cada punto de la superficie cuadrática pasa una generatriz de cada uno de los dos sistemas. Dos generatrices de un mismo sistema e infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto sistema se cortan. Las generatrices de los distintos sistemas se cortan en series proyectivas de puntos.
Podemos dibujar estas figuras mediante las generatrices de un sistema que quedan determinadas por tres puntos colineales de tres generatrices distintas del otro sistema. Si tomamos dos generatrices de distinto sistema que se corten, por el punto de intersección pasa un plano tangente a la cuádrica.
Superficie poliédrica es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.
Poliedros regulares son los que tienen todas las caras iguales, y sonpolígonos regulares,-figuras planas que tienen todos los lados y ángulos iguales. Existen sólo cinco y tienen numerosas propiedades: se pueden inscribir unos dentro de otros de diversas formas, se pueden inscribir y circunscribir en una esfera, se pueden prolongar sus aristas obteniéndose otro de ellos, etc. En la figura se observa un icosaedro regular, que es una figura de 20 caras que son polígonos regulares, con sus dos proyecciones planas idénticas en planta y alzado tras un giro de 90° y desplazamiento de una de las vistas.
http://geometria-poliedros.blogspot.com
Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.net/shared/lpxg66qqvg
ISBN.: 978-84-690-9786-1
Edita VA Com. Sa SC 2004
Ejemplos de transformación de superficies poliédricas:
http://inscripcionpoliedrica.blogspot.com/
http://dodecaedro-regular.blogspot.com/
http://icosaedro-regular.blogspot.com/
Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.net/shared/lpxg66qqvg
ISBN.: 978-84-690-9786-1
Edita VA Com. Sa SC 2004
Ejemplos de transformación de superficies poliédricas:
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Desarrollo de una superficie.
El desarrollo de una superficie es la figura plana obtenida al extenderla sobre un plano. Es como si una figura estuviera envuelta por un material fino en su superficie que se abriera a lo largo de las aristas. Al ir abriendo cada una de sus caras las doblaríamos hasta situarlas en un plano del dibujo, quedando extendido el envoltorio de la figura sobre el plano.
Al desarrollar la figura sobre un plano se obtiene el verdadero tamaño y forma de las caras.
Tipos de desarrollos:
Una figura se puede desarrollar mediante líneas paralelas como pasa con las superficies radiadas de vértice impropio, los prismas y cilindros.
Se puede desarrollar mediante líneas que pasan por un centro, también llamadas radiadas. Este desarrollo corresponde a superficies radiadas de punto propio como son las pirámides y los conos.
Mediante triangulaciones, esto se obtiene al dividir las caras de la superficie en formas triangulares.
Desarrollos aproximados son los que se utilizan para las superficies alabeadas y de doble curvatura, superficies que no se pueden desarrollar pero que se pueden obtener formas aproximadas de su extensión sobre el plano.
Desarrollar una superficie es extenderla sobre un plano, es coger sus caras y anexionarlas en un plano poniéndolas unidas por sus lados hasta convertirla en una figura plana, de manera que si se recortan los bordes y se doblan por los lados se puede construir en tres dimensiones.Las figuras poliédricas son todas desarrollables. En la figura vemos el desarrollo de un icosaedro regular, en el que se pueden observar sus 20 caras que son triángulosequiláteros.
Aquí observamos el desarrollo de otra superficie, el cuboctaedro rombitruncado. Esta superficie es un poliedro arquimediano, obtenido por la sección de las caras de un poliedro regular.
Diagrama de Schlegel. Si observamos una figura de cristal muy cerca de manera que todas sus aristas queden detrás de una cara, estaremos viendo la figura representada en este diagrama. Para construir figuras según este procedimiento se tiene que dar el caso de que las aristas no se corten entre sí y al mismo tiempo aparezcan todos los vértices y aristas de la figura en su representación. Este diagrama facilita que en las superficies poliédricas, el control de los vértices, de las líneas que pasan por cada vértice, de los lados, etcétera.
Prisma de base hexagonal regular recto. Un prisma es una superficie poliédrica reglada desarrollable. Si las aristas laterales que unen las bases son oblicuas respecto a ellas estaremos hablando de un prisma oblicuo, si no lo son, hablaremos de un prisma recto.
Poliedros duales como el icosaedro y el dodecaedro tienen una propiedad curiosa: si prolongamos las aristas del icosaedro regular se cortan en vértices que determinan los puntos de un dodecaedro. Recíprocamente si prolongamos las aristas del dodecaedro regular se cortan en vértices que determinar los puntos de un icosaedro. Ambas figuras, junto con el cubo en el que se pueden inscribir, tienen sus aristas relacionadas en una proporción áurea.
Aquí observamos una proyección axonométrica del icosaedro al que se hanprolongado sus aristas y en su intersección se generan los vértices de un dodecaedro regular. Al añadir las pirámides hemos obtenido el gran dodecaedro estrellado.Se puede obtener por tanto un poliedro estrellado al incorporar pirámides en cada una de las caras de un poliedro regular, de esta forma sobre el icosaedro con las pirámides sobre sus caras también los vértices se inscriben en un dodecaedro regular.
Los deltaedros son superficies regladas desarrollables poliédricas formadas por triángulos equiláteros. Pueden tener cierta regularidad o bien ser irregulares. En este caso el deltaedro es un icosaedro regular. El tetraedro regular y el octaedro regular son otros dos poliedros regulares que también son deltaedros.
Las esferas geodésicasson superficies poliédricas adecuadas a esferas. Se pueden construir partiendo de un poliedro regular en el que se triangulan sus caras. Cada nueva triangulación del nuevo vértice que obtenemos, debe estar inscrito en la esfera, generando la superficie más homogénea posible, aunque esto a veces no sea posible teniendo que producir superficies cuyos triángulos no siempre son todos equiláteros.http://estructuras-geodesicas.blogspot.com/
En la figura observamos cómo se puede transformar un poliedro arquimediano(icosaedro truncado) en una esfera geodésica, esto es, en una estructura construida con caras triangulares casi equiláteras, de manera que todos los vértices de los triángulos de la esfera equidistan del centro de la misma. Sobre cada una de las caras de la figura se construye una pirámide cuya base es la misma cara. Para saber cuál es su altura debemos pasar por el punto medio de la cara una recta que pase también por el centro de la esfera que inscribe el poliedro. Esta recta cortará a la esfera en la que está inscrito el poliedro en un punto y este es el vértice superior de la pirámide. A continuación unimos este vértice con cada uno de los vértices de la base que son los vértices del polígono regular (caras del poliedro arquimediano). De esta forma tenemos que todos los puntos de la esfera geodésica equidistan del centro y todas sus caras son triángulos casi equiláteros.
Si en vez de tomar como vértice superior de la pirámide la intersección de la esfera con la recta que pasa por el centro de la esfera y por el punto medio de cada cara cogemos un punto que queda más lejos por encima de cada cara del poliedro, obtendremos un poliedro estrellado. De esta forma tenemos que para construir un poliedro estrellado lo único que necesitamos es construir pirámides apoyadas en cada una de las caras del poliedro.
Los poliedros arquimedianos son superficies regladas desarrollables producidas en la mayor parte de los casos por secciones de los poliedros regulares (en el dibujo, todos se pueden obtener por secciones de los poliedros regulares menos los duplicados en sentidos distintos: el cubo romo y dodecaedro romo). Tienen bastante regularidad y todas las caras de los poliedros arquimedianos son polígonos regulares.En la siguiente página podemos observar la construcción del rombicosidodecaedro (p. arquimediano) a partir del truncamiento de un icosaedro:
http://transformaciondesuperficies.blogspot.com/
Página en la que se puede ver la construcción de varios poliedros arquimedianos a partir de otros más sencillos, como los regulares.
Transformación de un poliedro regular (icosaedro) en distintos poliedros arquimedianos y regreso a otro poliedro regular: el dodecaedro.
http://poliedrosarquimedianos.blogspot.com/
http://arquimedianosendiedrico.blogspot.com/
http://poliedrosregularesyarquimedianos.blogspot.com/
Aquí tenemos el ejemplo de un poliedro arquimediano generado por eltruncamiento del icosaedro regular.
Es la figura que se utiliza en los balones de fútbol clásicos, se pensaba hasta no hace mucho que sin gran número de aristas tenía una gran esfericidad, hoy en día se utilizan otros con una estructura más esférica.
http://arquimedianosendiedrico.blogspot.com/
http://poliedrosregularesyarquimedianos.blogspot.com/
Aquí tenemos el ejemplo de un poliedro arquimediano generado por eltruncamiento del icosaedro regular.Es la figura que se utiliza en los balones de fútbol clásicos, se pensaba hasta no hace mucho que sin gran número de aristas tenía una gran esfericidad, hoy en día se utilizan otros con una estructura más esférica.
Los poliedros de Catalanson superficies duales de los arquimedianos. Se pueden obtener tomando los puntos medios de los poliedros arquimedianos y uniéndolos entre sí. Se da la peculiaridad de que estos poliedros tienen en todas sus caras polígonos iguales aunque irregulares (de lados y ángulos distintos). En la figura vemos un poliedro de Catalan (hexecontaedro pentagonal, dual del icosidodecaedro romo) en sistema diédrico.Transformación de un poliedro regular en un poliedro de Catalan.
El poliedro anterior ensistema axonométrico.
El poliedro anterior ensistema axonométrico.
Los poliedros estrellados se pueden construir de forma general sumando pirámides a las caras de poliedros. Los más estudiados son el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro, el gran dodecaedro estrellado, y el gran icosaedro. Se pueden transformar unos en otros: el gran dodecaedro en pequeño dodecaedro estrellado y recíprocamente y el gran dodecaedro estrellado en el gran icosaedro y recíprocamente. Fueron estudiados por Kepler, Poinsont, Cauchy, etc.http://poliedroestrellado.blogspot.com/
http://poliedros-estrellados.blogspot.com/
En la figura observamos en sistema diédrico y en vista axonométrica un icosaedro regular al que se le han añadido pirámides sobre sus caras, obteniendo de esta forma un poliedro estrellado.Si el añadido de las pirámides es tal que los lados coinciden con la prolongación de las tres caras que están alrededor de cada una de las caras del icosaedro, se obtiene elprimer estrellado del icosaedro. Lo mismo pasa con el dodecedro y su correspondiente primer estrellado del dodecaedro.
Al cortar 2 poliedros duales por el corte de tipo 1, se obtiene siempre el mismo poliedro. En el caso del icosaedro, como es dual del dodecaedro, al cortarlo por planos que pasan por el centro de la arista (es el tipo 1, el 2 sería por un tercio de la arista) tenemos el icosidodecaedro en color rosa y definido con líneas en el dibujo (de igual forma lo obtenemos al cortar el dodecaedro).
Si de cada una de las caras pentagonales del icosidodecaedro, unimos los vértices de los pentágonos entre sí, tenemos figuras llamadas pentagramas, en el dibujo en color amarillo. Si por cada uno de los lados del pentagrama hacemos planos paralelos a cada conjunto de tres pentagramas correlativos, al quitar el prisma que determinan esos tres planos obtenemos la figura que aparece dibujada en sistema diédrico, que es un gran dodecaedro truncado por sus vértices.
Al prolongar las caras del primer estrellado del dodecaedro se obtiene el gran dodecaedro. Si en esta figura achaflanamos los vértices, obtenemos el poliedro anterior y es el que aparece ahora al final del vídeo, esto es, el gran dodecaedro truncado.
En la figura observamos la transformación de un pequeño dodecaedro estrellado en un gran dodecaedro. Primero achaflanamos los vértices de las pirámides pentagonales del dodecaedro estrellado obteniendo pentagonos y a continuación surgen pentagramas de cada pentágono de la figura, pentagramas determinados por los prismas que son en realidad la prolongación de las caras del dodecaedro. En cuanto estos pentagramas se transforman en un punto, tenemos que se han prolongado hasta el límite las caras del primer dodecaedro estrellado, obteniendo de esta forma caras que son pentágonos regulares sobre los que se asienta una estrella volumétrica, cuyos brazos sirven para la estrella adyacente.
Si cogemos un prisma y una de sus bases la giramos hasta hacer coincidir un vértice en una ortogonal del punto medio con la arista de la otra base, mediante una proyección ortogonal, obtenemos un antiprisma.
El giro debe ser tal que observando las dos caras paralelas del antiprisma en planta, ambas muestran sus vértices siempre a igual distancia unos de otros.
El antiprisma se forma al unir los vértices de dos polígonos regulares cuyo centro de ambas bases incide en un eje ortogonal, mediante rectas en zig-zag que determinan los triángulos iguales laterales de la figura.
Un antiprisma en posición oblicua en el sistema diédrico.
Poliedros compuestosson los que están formados por varios poliedros que tienen el mismo centro. En la imagen vemos dos icosaedros regulares obtenidos por un giro de uno respecto al otro sobre uno de los ejes que pasa por los vértices.http://poliedroscompuestos.blogspot.com/
Sumando pirámides a las caras de un octaedro podemos obtener un poliedro compuesto de tetraedros.
Poliedros de Johnsonson aquellos que siendo convexos y sin ser regulares ni arquimedianos, están formados por caras que son polígonos regulares.
Johnson construyó todos los polígonos que entraban dentro de esta clasificación. En la imagen aparecen unos cuantos.
El dodecaedro truncado yTriaquisicosaedro son dospoliedros duales, el arquimediano se puede inscribir en el de Catalan de forma que en este último tomamos los puntos medios de las caras y los unimos.http://icosaedrotriakis.blogspot.com/
Obtención del icosaedrotriakis mediante incorporación de pirámides a las caras del icosaedro regular.
Observamos que la recíproca no es cierta y el triaquisicosaedro no se puede inscribir en el dodecaedro truncado de forma que los vértices del poliedro de Catalan estén sobre los puntos medios de las caras del arquimediano.
Aquí vemos otra vista en la que el arquimediano está inscrito en el de Catalan. Eltriaquisicosaedro no es otra cosa que el icosaedro con pirámides sobre sus caras, de ahí su nombre con el prefijo triakis-, denominación que designa en los poliedros de Catalan este detalle.
Vértices sobre aristas:Un octaedro regular se puede inscribir en un tetraedro regular de manera que los vértices del primero inciden en los puntos medios de las aristas del otro. Esta es otra forma de construir nuevos poliedros, a partir de los puntos medios de cada arista.
Si cogemos los puntos medios de las caras de un antiprisma y los unimos con sus vértices más cercanos, obtenemos la figura dual de un antiprisma que es el deltoedro. Es una figura utilizada en dados, ya que puede tener número de caras ilimitada y al ser homogénea y todas sus caras estar en igual disposición respecto al centro, hay las mismas posibilidades de que caiga cualquier cara en un lanzamiento del dado.
Proyección axonométrica de un deltoedro, está formado por caras en forma de Delta, trapezoides con un eje de simetría.
Aquí observamos unadipirámide, es un poliedro formado por dos pirámides unidas, dual del prisma obtenido en la unión de los vértices centrales de cada cara del prisma.
Vértices sobre caras:Otra posible inscripción de poliedros regulares: un tetraedro regular inscrito en un octaedro regular, tomando de este último los puntos medios de algunas caras (de todas tendríamos en este caso el cubo, su dual). Como los dos poliedros no son duales no cogemos todos los puntos de cada cara sino sólo algunos.Otras 2 figuras inscritas recíprocamente según el mismo procedimiento:
Algunos teoremas de geometría que son utilizados con frecuencia en el sistema diédrico:
