Sistema axonométrico oblicuo: perspectiva caballera y militar

Fundamento

La perspectiva caballera es la proyección oblicua y cilíndrica (hecha con paralelas) de una figura. Para una buena comprensión de la figura la colocamos de forma que una cara esté paralela (x, z) o coincidente con el plano de cuadro o del dibujo. De esta manera la cara paralela mantiene sus dimensiones y forma inalteradas (homotecia afín), mientras que la proyección de su eje “y” experimenta una reducción (a / b) lo que favorece una apariencia más real de la figura.
Véase que la sombra de rayos paralelos (solar) de la figura con una cara paralela al suelo es la perspectiva caballera de la figura pero con ampliación del tamaño -en este caso por estar el sol en el crepúsculo- en vez de reducción como se viene utilizando en caballera. Las demás caras del cubo: verde, azul, violeta, esto es, las que no son paralelas al plano del cuadro, son afines a su representación o proyección en perspectiva caballera.












Perspectiva caballera del cubo

Aquí observamos la perspectiva caballera del cubo con una cara en verdadera forma y la profundidad del eje y reducido en este caso al 50%. El ángulo se empieza a contar a partir del eje x hacia la derecha, en este caso particular se ha escogido 315º sexagesimales. La pieza por encima de 180º se observa como si se estuviera viendo desde abajo.













La perspectiva caballera del cubo con una reducción de ¾ sobre el eje y (OA se reduce a OB en relación de 4 a 3).













La perspectiva caballera de una recta m horizontal con sus 3 proyecciones m1 m2 m3.














La perspectiva caballera de un plano oblicuo con sus 3 trazas p1 p2 p3.
Las trazas siempre se cortan en un eje, con lo que si nos dan p. ej., p1 y p3, basta con prolongar p1 hasta que corte al eje x, en el punto de intersección se pasa una recta por la intersección de p3-z y obtenemos p2.














Dos planos oblicuos z p en perspectiva caballera con su recta de intersección I.














Proyección del pentágono regular sobre el plano XOY con la reducción b/a sobre el eje y con un ángulo de 135º.













La perspectiva caballera de uncuadrado ABCD sobre el plano XOY con reducción ¾.















Paraboloide hiperbólico en perspectiva caballera.














La perspectiva caballera de un cilindro y un cono. El hecho de que la perspectiva caballera sea una proyección oblicua hace que las figuras salgan poco reales: el eje mayor de la elipsem (círculo en perspectiva) aparece con cierto ángulo respecto a la horizontal, cosa que no sucede en nuestra percepción visual que la reconoce siempre horizontal.















Pirámide con una cara apoyada en el plano YOZ. La longitud real del círculo de dimensión diametral OP, que inscribe la base de la figura, se reduce a la longitud OB.
BP determina por tanto la dirección de todos los puntos que se reducen sobre el eje y (AB).















La perspectiva caballera de un prisma recto de base hexagonal regular siguiendo los parámetros del ejercicio anterior.















Pieza en perspectiva caballera construida a partir de sus proyecciones diédricas en planta y alzado. El segmento O2 se reduce a OA, longitud que se traslada al eje Z a la dimensión 1. (Por convenio la reducción se aplica sobre el eje y que es el que bascula, en el dibujo z y están intercambiados.)















Pieza Con reducción ½. Para obtener la perspectiva de un punto cualquiera A, se proyecta su proyección A2 en la dirección del eje y A1 en la dirección de reducción 2 es a 1. La intersección de las dos direcciones A2-A y A1-A es la perspectiva del punto.














La perspectiva caballera de una pirámide truncada de base cuadrada a reducción 3/5 y ángulo 45º. El ángulo en la perspectiva caballera siempre se toma en sentido de giro hacia la derecha y empezando a contar a partir del eje x.














La misma figura con una reducción de 2/3 y ángulo de reducción sobre el eje y de 2/3.













Si el punto A está localizado a cierta altura respecto al plano horizontal xy , una vez obtenida la perspectiva de su proyección A’ se levanta una vertical a partir de este punto con la cota en verdadera magnitud, que es la que corresponde al alzado en A2. La intersección de la dirección A-A2 (la del eje y) y de la vertical por A’ localiza al punto A.















La perspectiva caballera de dos prismas superpuestos con una reducción de 2/3 y ángulo de 135º. La longitud MO se reduce a PO sobre el eje y abatido, con lo que en la perspectiva M se transforma en P’. La dirección MP es la que define la reducción sobre el eje y y todos los puntos la siguen, así, N se transforma en N’, etc.

















En la figura podemos observar la perspectiva caballera de un cilindro con sus dos proyecciones en planta y alzado, como el ángulo XOY’ es mayor de 180°, en este caso son 215°, la figura se ve como si la observáramos desde abajo. La reducción que se ha aplicado es de un medio.
En la prolongación del eje Z vemos como las dimensiones del cuadrado en planta se proyectan sobre el mismo generando el segmento a, a continuación este segmento se proyecta sobre el eje y’, con la reducción correspondiente. Podemos observar en la planta del cuadrado que por los vértices del mismo hemos hecho paralelas a estas direcciones -en color verde- para obtener sobre la cara XOY’ la proyección en perspectiva caballera de la planta.






En el dibujo observamos la forma de una casa en perspectiva caballera con el ángulo De 135° entre los dos ejes X e Y. El hecho de que la reducción sea ¾, sólo aplicable sobre el eje Y, supone que el segmento a aparece en el dibujo a ¾ de su dimensión real. Tenemos por contra que sobre los otros dos ejes, el horizontal y vertical, las medidas aparecen en verdadera magnitud, sin reducción alguna,- si el dibujo está hecho a escala uno partido uno.







En el dibujo observamos un cubo en perspectiva caballera con la reducción correspondiente y con un ángulo XOY’ de 135°. Se han calculado las sombras que proyecta sobre el suelo y las propias de la figura. Como los rayos del sol son paralelos, en color verde, estamos hablando de luz solar. Para ello se ha indicando la dirección norte-sur, como la dirección de la sombra del segmento vertical es n’, tenemos que el acimut es a, ya que es el ángulo que forma la dirección de la sombra de una vertical y la línea norte-sur hacia la derecha. Mientras que la altitud a la que está el sol, o sea el ángulo que forma respecto a la línea del horizonte es h.
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En el dibujo podemos observar la perspectiva caballera de una pirámide con un ángulo de 45°, como siempre contabilizado a partir del eje X y en el sentido de las agujas del reloj. Como podemos observar también el segmento b en planta correspondiente al lado de la base de la figura en color ocre se transforma en la perspectiva caballera en un segmento reducido a un medio, ya que hemos hecho centro en el origen de coordenadas de los ejes y trasladado el punto medio A mediante un giro sobre el eje y. La altura de la figura está en verdadera magnitud, ya que sobre el eje Z. no se aplica reducción alguna.









La perspectiva militar es un caso particular de la perspectiva caballera en la que la planta de la figura es la que aparece en verdadera forma. Con ello podemos coger el plano de una casa y desplazarlo en una dirección vertical hasta obtener el techo o forjado del piso. Uniendo mediante líneas verticales las dos formas planas correspondientes al suelo y al techo obtenemos la perspectiva Militar de la figura.

Sistema axonométrico ortogonal

Fundamento

La axonometría es la proyección ortogonal (perpendicular al plano) C’, de una figura C (en este caso un prisma). La proyección sobre el papel o plano del cuadro es además cilíndrica (esto es, proyectada mediante líneas paralelas).

La figura se coloca usualmente coincidente con los ejes que forman entre sí 90º dos a dos (como la esquina de un cubo); a estos tres ejes cartesianos en los que va colocada la pieza se le llama triedro trirrectángulo y es una pirámide que corta al plano del cuadro según un triángulo (azul en el dibujo), llamado triángulo fundamental TF.

Para cualquier posición de los tres ejes X'Y'Z' en el plano siendo no coincidentes, existe siempre un triedro trirrectángulo que se puede transformar por proyección ortogonal en los anteriores:

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A mayor pendiente que tengan estos ejes respecto al plano del cuadro, las caras de la figura se verán menos: es como la esquina de un cubo (el triedro) que flota en el agua (siendo su superficie el plano del cuadro) y la línea azul es la de flotación de la esquina del cubo. Si el triángulo que define la línea de flotación tiene lados iguales, estamos en un sistema en el que todas las caras del triedro tienen la misma pendiente y los ejes al ser proyectados se reducen lo mismo sobre el plano del cuadro, estamos hablando entonces del sistema axonométrico isométrico.
Si levantamos un eje de forma que tenga menos pendiente que los otros, o lo hundimos para que tenga más, manteniendo los otros la misma pendiente entre ellos, tenemos el sistema axonométrico dimétrico. Si el ángulo de los tres respecto al plano del cuadro es distinto estamos ante una axonometría trimétrica.












Esta sería la representación axonométrica del prisma con su coincidencia de las aristas sobre los ejes coordenados del triedro trirrectángulo.











Para obtener las dimensiones reducidas de la pieza correspondientes a la proyección axonométrica del papel, podemos abatir el plano que contiene cada cara de la figura (por ejemplo a),








Una vez que está abatida (a), proyectamos sus dimensiones sobre la proyección de los ejes: la dimensión del cuadrado azul en (x) sobre x’,…











Abatimos de esta forma las tres caras del triedro para obtener sus verdaderas magnitudes. Para obtener las caras abatidas tenemos en cuenta dos cosas:
1- al abatir un punto O, su transformado queda sobre la perpendicular a la proyección de O sobre el plano del cuadro.













Así es como quedaría la perspectiva de la figura, con sus aristas coincidentes con las proyecciones de los ejes del triedro. Las tres caras de la figura en tres colores distintos se obtienen en la proyección axonométrica al proyectar sus medidas sobre los ejes. Así, m se transforma en m’ y n en n´.












En la pirámide está colocada la figura con sus tres caras que tocan a los planos del triedro, éstas son abatidas para obtener su verdadera forma y magnitud.
Este es el fundamento del sistema, del desabatimiento (proceso inverso al anterior) obtenemos las tres caras de color sobre el triedro en la perspectiva.













Una vez que hemos proyectado las dimensiones reales de las figuras sobre los ejes y construimos el contorno de la figura, sólo cabe ya darle una consistencia espacial para el dibujo de la pieza.












Si observamos un lado b de la figura veremos que al prolongarlo coincide con la prolongación de su proyección axonométrica b’en un punto “doble” sobre la recta H, ya que es el eje de giro del abatimiento y tras el giro ese punto es invariante por estar en el eje de giro. El segmento a corresponde a la altura de la figura y su representación axonométrica con la reducción correspondiente es a’.
A la derecha observamos la pieza con sus vistas diédricas abatidas y su representación tridimensional sin líneas ocultas.












Construimos los ejes con los ángulos que deseemos, sea iso, di o trimétrico. En la figura la axonometría es trimétrica por tener los ángulos desiguales entre los tres ejes. Prolongamos los ejes y desde un punto del eje elegido hacemos una perpendicular a la prolongación del eje Z.

Las tres vistas desabatidas













Perspectiva isométrica de una pirámide de base cuadrada. Se hacen los abatimientos de las caras del triedro trirrectángulo, se coloca la planta y el alzado de la figura en las vistas abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que intercepte a las aristas de la pirámide.













Perspectiva isométrica de un cubo. Como todas las caras tienen el mismo ángulo respecto al plano del cuadro, el contorno del cubo es un hexágono regular.













En el caso de la axonometría trimétrica tenemos que las tres caras del triedro trirrectángulo portan distinto ángulo respecto al plano del cuadro por lo que al abatirlas obtenemos caras distintas. Se prolongan los ejes del triedro y en un punto de uno de ellos se hace una perpendicular a la prolongación de otro eje. Esta recta perpendicular al eje va ser uno de los lados del triángulo fundamental.
Los otros lados se obtienen al hacer por los puntos de intersección de esta recta con los ejes, rectas perpendiculares a la prolongación de los demás ejes.
Una vez que tenemos construido el triángulo fundamental, como venimos haciendo, hacemos centro en los lados del triángulo y construimos semicircunferencias que comprendan estos lados, en la intersección de estas semicircunferencias con la prolongación de los ejes tenemos el vértice del triedro abatido que determina con los lados del triángulo fundamental las caras abatidas del triedro.
Por último se colocan las vistas de la pieza sobre las caras del triedro abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que corten a la proyección de las aristas del triedro trirrectángulo.















Aquí tenemos otra representación en axonometría trimétrica, las caras abatidas del triedro contienen las caras abatidas de la pieza que tocan las paredes del triedro trirrectángulo.

Axonometría isométrica

Un ejemplo de axonometría isométrica de una pieza compuesta por una esfera con un hueco interior compuesto de un cono, cilindro y un cuarto de esfera.
En este caso la perspectiva de la pieza tiene el centro de la esfera en el vértice del triedro, ello quiere decir que en el abatimiento de las caras, el contorno de la esfera será una circunferencia que tiene por centro el vértice del triedro trirrectángulo abatido.
Como la axonometría es una proyección ortogonal, la representación de una esfera tiene por contorno una circunferencia, ya que al proyectar una esfera desde un cilindro tangente sobre un plano, ésta se transforma en una circunferencia que es la intersección del cilindro con el plano.














Proyección isométrica de un cilindro y un cono con dos huecos prismáticos. En este caso el eje del cilindro y del cono coincide con el eje Z del triedro trirrectángulo. Como en la figura aparecen colores se puede apreciar que las vistas de la figura están invertidas, cuestión que hasta ahora no se había tratado ya que casi todas las piezas eran simétricas. Que la figura esté invertida es consecuencia de que al abatir un plano, la figura queda al revés, aunque éste es un dato irrelevante a efectos de tomar las dimensiones de la pieza. 










Como las vistas están invertidas, a la hora de hacer el dibujo hay que tener precaución con los puntos que proyectamos, observar sobre qué eje están para proyectarlos sobre el que corresponde. 
















Perspectiva isométrica de distintas piezas con sus proyecciones abatidas. 























































































































































Existe una afinidad entre las vistas abatidas y las caras de la pieza que tocan al triedro trirrectángulo. La dirección de afinidad nos la determina el eje perpendicular a la cara que contiene la vista y el eje de afinidad es el lado del triángulo fundamental o arista de la base de la pirámide que corta al plano del cuadro.
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En la figura, las caras del triedro trirrectángulo aparecen coloreadas igual que sus abatimientos. Se percibe también en la cara del perfil que al prolongar las líneas de la figura, se cortan con las líneas de la figura en perspectiva, en un mismo punto del lado del triángulo fundamental.












En una perspectiva isométrica, como en cualquier otra, las aristas de la pieza no tienen por qué estar coincidentes con los ejes del triedro trirrectángulo. 














Una forma de evitar que las vistas salgan invertidas respecto a la orientación de la pieza consiste en hacer el abatimiento de las caras con una orientación simétrica respecto a las hechas hasta ahora. De esta forma las vistas ya no están invertidas respecto a la pieza como si estuvieran frente a un espejo.