miércoles, 13 de junio de 2012

Sistema axonométrico ortogonal

Fundamento

La axonometría es la proyección ortogonal (perpendicular al plano) C’, de una figura C (en este caso un prisma). La proyección sobre el papel o plano del cuadro es además cilíndrica (esto es, proyectada mediante líneas paralelas).

La figura se coloca usualmente coincidente con los ejes que forman entre sí 90º dos a dos (como la esquina de un cubo); a estos tres ejes cartesianos en los que va colocada la pieza se le llama triedro trirrectángulo y es una pirámide que corta al plano del cuadro según un triángulo (azul en el dibujo), llamado triángulo fundamental TF.

Para cualquier posición de los tres ejes X'Y'Z' en el plano siendo no coincidentes, existe siempre un triedro trirrectángulo que se puede transformar por proyección ortogonal en los anteriores:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-pohlke.html

A mayor pendiente que tengan estos ejes respecto al plano del cuadro, las caras de la figura se verán menos: es como la esquina de un cubo (el triedro) que flota en el agua (siendo su superficie el plano del cuadro) y la línea azul es la de flotación de la esquina del cubo. Si el triángulo que define la línea de flotación tiene lados iguales, estamos en un sistema en el que todas las caras del triedro tienen la misma pendiente y los ejes al ser proyectados se reducen lo mismo sobre el plano del cuadro, estamos hablando entonces del sistema axonométrico isométrico.
Si levantamos un eje de forma que tenga menos pendiente que los otros, o lo hundimos para que tenga más, manteniendo los otros la misma pendiente entre ellos, tenemos el sistema axonométrico dimétrico. Si el ángulo de los tres respecto al plano del cuadro es distinto estamos ante una axonometría trimétrica.












Esta sería la representación axonométrica del prisma con su coincidencia de las aristas sobre los ejes coordenados del triedro trirrectángulo.











Para obtener las dimensiones reducidas de la pieza correspondientes a la proyección axonométrica del papel, podemos abatir el plano que contiene cada cara de la figura (por ejemplo a),








Una vez que está abatida (a), proyectamos sus dimensiones sobre la proyección de los ejes: la dimensión del cuadrado azul en (x) sobre x’,…











Abatimos de esta forma las tres caras del triedro para obtener sus verdaderas magnitudes. Para obtener las caras abatidas tenemos en cuenta dos cosas:
1- al abatir un punto O, su transformado queda sobre la perpendicular a la proyección de O sobre el plano del cuadro.













Así es como quedaría la perspectiva de la figura, con sus aristas coincidentes con las proyecciones de los ejes del triedro. Las tres caras de la figura en tres colores distintos se obtienen en la proyección axonométrica al proyectar sus medidas sobre los ejes. Así, m se transforma en m’ y n en n´.












En la pirámide está colocada la figura con sus tres caras que tocan a los planos del triedro, éstas son abatidas para obtener su verdadera forma y magnitud.
Este es el fundamento del sistema, del desabatimiento (proceso inverso al anterior) obtenemos las tres caras de color sobre el triedro en la perspectiva.













Una vez que hemos proyectado las dimensiones reales de las figuras sobre los ejes y construimos el contorno de la figura, sólo cabe ya darle una consistencia espacial para el dibujo de la pieza.












Si observamos un lado b de la figura veremos que al prolongarlo coincide con la prolongación de su proyección axonométrica b’en un punto “doble” sobre la recta H, ya que es el eje de giro del abatimiento y tras el giro ese punto es invariante por estar en el eje de giro. El segmento a corresponde a la altura de la figura y su representación axonométrica con la reducción correspondiente es a’.
A la derecha observamos la pieza con sus vistas diédricas abatidas y su representación tridimensional sin líneas ocultas.












Construimos los ejes con los ángulos que deseemos, sea iso, di o trimétrico. En la figura la axonometría es trimétrica por tener los ángulos desiguales entre los tres ejes. Prolongamos los ejes y desde un punto del eje elegido hacemos una perpendicular a la prolongación del eje Z.

Las tres vistas desabatidas













Perspectiva isométrica de una pirámide de base cuadrada. Se hacen los abatimientos de las caras del triedro trirrectángulo, se coloca la planta y el alzado de la figura en las vistas abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que intercepte a las aristas de la pirámide.













Perspectiva isométrica de un cubo. Como todas las caras tienen el mismo ángulo respecto al plano del cuadro, el contorno del cubo es un hexágono regular.













En el caso de la axonometría trimétrica tenemos que las tres caras del triedro trirrectángulo portan distinto ángulo respecto al plano del cuadro por lo que al abatirlas obtenemos caras distintas. Se prolongan los ejes del triedro y en un punto de uno de ellos se hace una perpendicular a la prolongación de otro eje. Esta recta perpendicular al eje va ser uno de los lados del triángulo fundamental.
Los otros lados se obtienen al hacer por los puntos de intersección de esta recta con los ejes, rectas perpendiculares a la prolongación de los demás ejes.
Una vez que tenemos construido el triángulo fundamental, como venimos haciendo, hacemos centro en los lados del triángulo y construimos semicircunferencias que comprendan estos lados, en la intersección de estas semicircunferencias con la prolongación de los ejes tenemos el vértice del triedro abatido que determina con los lados del triángulo fundamental las caras abatidas del triedro.
Por último se colocan las vistas de la pieza sobre las caras del triedro abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que corten a la proyección de las aristas del triedro trirrectángulo.















Aquí tenemos otra representación en axonometría trimétrica, las caras abatidas del triedro contienen las caras abatidas de la pieza que tocan las paredes del triedro trirrectángulo.












Axonometría isométrica

Un ejemplo de axonometría isométrica de una pieza compuesta por una esfera con un hueco interior compuesto de un cono, cilindro y un cuarto de esfera.
En este caso la perspectiva de la pieza tiene el centro de la esfera en el vértice del triedro, ello quiere decir que en el abatimiento de las caras, el contorno de la esfera será una circunferencia que tiene por centro el vértice del triedro trirrectángulo abatido.
Como la axonometría es una proyección ortogonal, la representación de una esfera tiene por contorno una circunferencia, ya que al proyectar una esfera desde un cilindro tangente sobre un plano, ésta se transforma en una circunferencia que es la intersección del cilindro con el plano.














Proyección isométrica de un cilindro y un cono con dos huecos prismáticos. En este caso el eje del cilindro y del cono coincide con el eje Z del triedro trirrectángulo. Como en la figura aparecen colores se puede apreciar que las vistas de la figura están invertidas, cuestión que hasta ahora no se había tratado ya que casi todas las piezas eran simétricas. Que la figura esté invertida es consecuencia de que al abatir un plano, la figura queda al revés, aunque éste es un dato irrelevante a efectos de tomar las dimensiones de la pieza. 










Como las vistas están invertidas, a la hora de hacer el dibujo hay que tener precaución con los puntos que proyectamos, observar sobre qué eje están para proyectarlos sobre el que corresponde. 
















Perspectiva isométrica de distintas piezas con sus proyecciones abatidas. 























































































































































Existe una afinidad entre las vistas abatidas y las caras de la pieza que tocan al triedro trirrectángulo. La dirección de afinidad nos la determina el eje perpendicular a la cara que contiene la vista y el eje de afinidad es el lado del triángulo fundamental o arista de la base de la pirámide que corta al plano del cuadro.
http://homologias.blogspot.com/













En la figura, las caras del triedro trirrectángulo aparecen coloreadas igual que sus abatimientos. Se percibe también en la cara del perfil que al prolongar las líneas de la figura, se cortan con las líneas de la figura en perspectiva, en un mismo punto del lado del triángulo fundamental.












En una perspectiva isométrica, como en cualquier otra, las aristas de la pieza no tienen por qué estar coincidentes con los ejes del triedro trirrectángulo. 














Una forma de evitar que las vistas salgan invertidas respecto a la orientación de la pieza consiste en hacer el abatimiento de las caras con una orientación simétrica respecto a las hechas hasta ahora. De esta forma las vistas ya no están invertidas respecto a la pieza como si estuvieran frente a un espejo.

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